Question

Площадь полной поверхности прямого круглого конуса равна 384 п см², а площадь его основания 144 п см². Найдите объем конуса

Answer 1

Ответ:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

$s = \pi {r}^{2} + \pi \: rl$

Основание конуса - круг, следовательно, оно равно πr^2, а значит радиус равен 12.

Зная площадь полной поверхности и площадь основания, используя уже приведённую выше формулу можно найти площадь боковой поверхности конуса:

$384 - 144 = 240$

Зная площадь боковой поверхности и радиус, можно найти длину l:

$\frac{240}{12} = 20$

Теперь рассмотрим длину, высоту и радиус как прямоугольный треугольник, и по теореме Пифагора найдём высоту:

${c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}$

${20}^{2} = {12}^{2} + {h}^{2}$

$h = 16$

Осталось найти объем:

$v = \frac{1}{3} \pi {r}^{2} h$

$v = \frac{1}{3} \pi \times 12 \times 16$

Ответ:

$v = 64\pi$

Answer 2

Для нахождения объема прямого круглого конуса, нам нужно знать радиус его основания и высоту конуса. У вас есть площадь его основания (144 π см²), но информации о высоте пока нет. Если предположить, что высота конуса равна "h" см, то мы сможем найти радиус основания, а затем и объем конуса.

Площадь основания конуса вычисляется по формуле: A = πr², где A - площадь основания, а r - радиус основания.

Мы знаем, что A = 144 π см², поэтому: 144π = πr².

Теперь можно найти радиус основания: r² = 144, r = √144, r = 12 см.

Теперь, имея радиус основания и площадь его полной поверхности, мы можем найти высоту конуса. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πr² + πr√(r² + h²), где S - площадь полной поверхности, r - радиус основания, h - высота.

У нас есть S = 384π см² и r = 12 см. Мы можем решить уравнение для h: 384π = π(12)² + π(12)√((12)² + h²).

Решим его: 384π = 144π + 144π√(144 + h²).

240π = 144π√(144 + h²).

2√(144 + h²) = 240.

√(144 + h²) = 120.

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: 144 + h² = 120², 144 + h² = 14400.

Теперь выразим h²: h² = 14400 - 144, h² = 14256.

Теперь извлечем квадратный корень: h = √14256, h = 120 см.

Теперь у нас есть радиус основания (r = 12 см) и высота (h = 120 см) конуса. Мы можем найти его объем, используя формулу: V = (1/3)πr²h.

Подставляем известные значения: V = (1/3)π(12 см)²(120 см).

Вычисляем объем: V = (1/3)π(144 см²)(120 см), V = (1/3)π(17280 см³).

V = 5760π см³.

Таким образом, объем прямого круглого конуса равен 5760π кубических сантиметров.