Question

Знайти значення х, при якому вектори а(х; 3) і с(3; 2) а) перпендикулярні; б) колінеарні.

Answer 1

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение нуль. а коллинеарны, когда соответствующие координаты пропорциональны.

а) 3х+6=0, откуда х=-2

б) х/3=3/2, откуда х=4.5

Answer 2

Для знаходження значення х, при якому вектори а(х; 3) і с(3; 2) перпендикулярні, ми можемо скористатися властивістю скалярного добутку векторів. Два вектори є перпендикулярними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Скалярний добуток двох векторів a і с обчислюється так:

a ⋅ с = ax * cx + ay * cy

де ax і ay - компоненти вектора a, а cx і cy - компоненти вектора c.

У нашому випадку:

a(х; 3) і с(3; 2)

Отже, ax = x, ay = 3, cx = 3 і cy = 2.

Тепер обчислимо скалярний добуток:

a ⋅ с = x * 3 + 3 * 2 = 3x + 6

Щоб вектори були перпендикулярні, скалярний добуток має бути рівним нулю:

3x + 6 = 0

Тепер вирішимо це рівняння:

3x = -6

x = -6 / 3

x = -2

Отже, значення х, при якому вектори а(х; 3) і с(3; 2) перпендикулярні, дорівнює -2.

Тепер перейдемо до б) колінеарних векторів. Вектори є колінеарними, якщо один з них є кратним іншому. Іншими словами, їх можна представити як добуток одного вектора на деяку константу.

У нашому випадку вектор a(х; 3) буде колінеарним вектору c(3; 2), якщо:

a = k * c

де k - деяка константа.

a(х; 3) = k * c(3; 2)

Тепер подивимось на компоненти обох векторів:

a: (x, 3) c: (3, 2)

Таким чином, ми маємо систему рівнянь:

x = 3k 3 = 2k

Розв'яжемо цю систему:

З другого рівняння знаходимо k:

2k = 3 k = 3/2

Тепер підставимо значення k у перше рівняння:

x = 3 * (3/2) x = 9/2

Отже, значення х, при якому вектори а(х; 3) і с(3; 2) колінеарні, дорівнює 9/2 або 4.5.