Question

Даны точки А (0, -1, 2) , В (1, -2, 3), С (3, 2, -2) , D (1, 6, 8). Докажите, что прямая DA перпендикулярна плоскости АВС

Answer 1

Даны точки А (0, -1, 2) , В (1, -2, 3), С (3, 2, -2) , D (1, 6, 8).

Для составления уравнения плоскости АВС используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0   y - (-1)       z - 2

1 - 0   (-2) - (-1)   3 - 2

3 - 0   2 - (-1)   (-2) - 2

 = 0

x - 0        y - (-1) z - 2

 1           -1            1

 3           3           -4

 = 0

(x - 0)  (-1·(-4)-1·3)  -  (y - (-1))  (1·(-4)-1·3)  +  (z - 2)  (1·3-(-1)·3)  = 0

1 x - 0  + 7 y - (-1)  + 6 z - 2  = 0

x + 7y + 6z - 5 = 0.

Нормальный (то есть перпендикулярный) вектор это плоскости равен:

n = (1; 7; 6).

Находим направляющий вектор прямой ДА.

ДА = (0-1=-1; -1-6=-7; 2-8=-6) = (-1; -7; -6).

Как видим, вектор ДА совпадает с нормальным вектором плоскости, только имеет обратное направление.

Но прямая ДА всё равно перпендикулярна плоскости, проходящей через точки А, В и С.

Answer 2

Чтобы доказать, что прямая DA перпендикулярна плоскости ABC, нам нужно убедиться, что вектор, направленный вдоль прямой DA, перпендикулярен вектору, нормальному к плоскости ABC.

Сначала найдем вектор, направленный от точки D (1, 6, 8) к точке A (0, -1, 2). Для этого вычтем координаты точки A из координат точки D:

Вектор DA = (0 - 1, -1 - 6, 2 - 8) = (-1, -7, -6).

Теперь нам нужно найти вектор, нормальный к плоскости ABC. Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, принадлежащих плоскости ABC.

Вектор AB = (1 - 0, -2 - (-1), 3 - 2) = (1, -1, 1). Вектор AC = (3 - 0, 2 - (-1), -2 - 2) = (3, 3, -4).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

AB × AC = |i j k | |1 -1 1 | |3 3 -4 |

= i(1 * (-4) - (-1) * 3) - j(1 * (-4) - 1 * 3) + k(1 * 3 - (-1) * 3) = i(-4 + 3) - j(-4 - 3) + k(3 + 3) = i(-1) - j(-7) + k(6) = (-1)i + (7)j + (6)k.

Теперь у нас есть вектор, нормальный к плоскости ABC, который равен (-1, 7, 6).

Теперь мы можем проверить, перпендикулярен ли вектор DA вектору, нормальному к плоскости ABC. Для этого нужно убедиться, что их скалярное произведение равно нулю:

DA · (-1, 7, 6) = (-1) * (-1) + (-7) * 7 + (-6) * 6 = 1 - 49 - 36 = -84.

Так как скалярное произведение не равно нулю, то вектор DA не перпендикулярен плоскости ABC. Таким образом, прямая DA не перпендикулярна плоскости ABC.