Question

20. На катетах прямокутного трикутника, як на діаметрах, побудовані два кола. Відстань між точками перетину цих кіл дорівнює Л, а один з гострих кутів трикут-ника становить альфа. Знайдіть гіпотенузу трикутника. ​

Answer 1

Розв'язання завдання додаю. Способiв де-кiлька. Пропоную такий. 2файл.

Answer 2

Давайте позначимо катети прямокутного трикутника як $a$ і $b$, гіпотенузу як $c$, відстань між точками перетину цих кіл як $L$, а один з гострих кутів як $\alpha$. Ми також знаємо, що кола побудовані на катетах як на діаметрах.

З опису задачі, відстань між точками перетину цих кіл $L$ є рівною діаметру кола побудованого на катеті $a$, або ж кола побудованого на катеті $b$.

Тепер, давайте розглянемо один із гострих кутів трикутника, наприклад, $\alpha$. Точка перетину кіл належить цьому куту. Оскільки кола побудовані на катетах, то ця точка також є вершиною прямокутного трикутника. Отже, ми маємо прямокутний трикутник з гіпотенузою $L$ і одним гострим кутом $\alpha$.

За тригонометричною функцією синус, ми можемо записати:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{L}$

Тепер ми можемо використовувати тригонометричний співвідношення для знаходження гіпотенузи $c$:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{L} = \frac{c}{b}$

Тепер ми можемо виразити $c$:

$c = \frac{b}{a} \cdot L$

Отже, гіпотенуза трикутника $c$ дорівнює $\frac{b}{a} \cdot L$.