Question

Помогите, пожалуйста, решить Задание 1 Определите, какая из точек принадлежит единичной окружности (окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 1): А(1/2;- 1/2), В((√3)/2;- 1/2), С(-(√3)/4; 1/4), D(0;(√2)/2) Запишите значение угла, соответствующее данной точке (угол, отложенный от положительного направления оси Оx против часовой стрелки). Определите косинус, синус, тангенс и котангенс данного угла. Все ответы обоснуйте Задание 2 Две стороны треугольника равны 4 см и 5 см, а угол между ними 60 градусов Определите: 1. Длину третьей стороны треугольника 2. Периметр треугольника 3. Площадь треугольника 4. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника Задание 3 В треугольнике АВС сторона АВ = 12; ВС = 32; ∠АСВ = 50 градусов 1. ∠ВАС 2. ∠АВС Для решения вам понадобиться калькулятор, который вычисляет тригонометрические и обратные тригонометрические функции (или таблицы Брадиса). Сколько решений имеет данная задача?

Answer 1

Ответ:

1)  Точка, лежащая на единичной окружности имеет абсциссу, равную косинусу соответствующего угла, а ординату , равную синусу этого угла.

То есть, если точка А лежит на единичной окружности, то её координаты можно записать так:  $A(\, cosa\, ;\, sina\, )$  .

Основное тригонометрическое тождество имеет вид:  $sin^2a+cos^2a=1$ .

Поэтому проверяем это тождество для заданных координат.

$A\Big(\, \dfrac{1}{2}\, ;-\dfrac{1}{2}\, \Big):\ \ \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2+\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\ne 1\\\\\\B\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\, ;-\dfrac{1}{2}\, \Big):\ \ \Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)^2+\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1\ \ \to \ \ B\in okryznosti\\\\\\C\Big(-\dfrac{\sqrt3}{4}\, ;\, \dfrac{1}{4}\, \Big):\ \ \Big(-\dfrac{\sqrt3}{4}\Big)^2+\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^2=\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{4}\ne 1$

$D\Big(\; 0\, ;\, \dfrac{\sqrt2}{2}\Big):\ \ 0^2+\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)^2=0+\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\ne 1$

На единичной окружности лежит точка  $B\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\, ;-\dfrac{1}{2}\, \Big)$  .

Найдём значение угла, соответствующего точке В, лежащей на единичной окружности.

$cosa=\dfrac{\sqrt3}{2}\ \ ,\ \ sina=-\dfrac{1}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ a=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\tga=\dfrac{sina}{cosa}=-\dfrac{1}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{3} \\\\ctga=\dfrac{1}{tga}=-\dfrac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3$

Смотри рисунок.

$2)\ \ \Delta ABC\ ,\ \ AB=4\ ,\ BC=5\ .\ \angle B=60^\circ \\\\AC^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot cos60^\circ =41-40\cdot \dfrac{1}{2}=21\ \ ,\ \ \underline {AC=\sqrt{21}\ }\\\\P=4+5+\sqrt{21}=\underline {9+\sqrt{21}\ }\\\\\dfrac{a}{sin\alpha }=2R\ \ \to \ \ R=\dfrac{AC}{2\cdot sin60^\circ }=\dfrac{\sqrt{21}}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\sqrt{\dfrac{21}{3} }=\sqrt7$

$3)\ \ \dfrac{AC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{BC}{sinA}=2R\ \ ,\ \ \to \\\\\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{12}{sin50^\circ }=\dfrac{32}{sinA}\ \ ,\ \ \dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{12}{0,7660}=\dfrac{32}{sinA}\\\\\\sinA=\dfrac{32\cdot 0,7660}{12}\approx 2,0427>1$

Так как  sin любого угла не превосходит 1, то полученный результат говорит о том, что треугольника с такими размерами не существует. Решения задача не имеет .

Answer 2

1. а)Уравнение окружности х²+у²=1 этой окружности принадлежит точка В(√3/2;-1/2), т.к. подставляя в уравнение окружности, получим

3/4+1/4=1. остальные не подходят.

б) Эта точка лежит в четвертой четверти, ей соответствует угол 330°, или в радианной мере 11π/6; косинус этого угла равен абсциссе точки, т.е. √3/2, синус - ее ординате, т.е. -1/2, тангенс - отношение синуса к косинусу, т.е. -1/√3=-√3/3, а котангенс обратен тангенсу, и равен -√3. Проверим, например синус sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=-1/2

cos330°=cos(360°-30°)=cos(-30°)=cos30°=√3/2

2. по теореме косинусов х²=а²+b²-2ab*cosα; третья сторона х=√(25+16-2*4*5*0.5)=√21/см/; периметр равен 4+5+√21=(9+√21)/см/

Площадь найдем по формуле s=(a*b*sinα)/2=(4*5*sin60°)/2=20√3/см²/

Радиус окружности, описанной около этого треугольника найдем по следствию из теоремы синусов. а/sinα=2R⇒R=a/(2sinα)=

√21/(2√3/2)=√7/cм/

3. по теореме синусов 12/sin50°=32/sinα⇒sinα=32*sin50°/12=

32*0.766/12≈2/043, решений ноль, т.к. не может синус угла быть больше единицы.

Answer 3

Задание 1:

Для определения, какая из точек принадлежит единичной окружности, мы можем воспользоваться уравнением окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 1:

Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 1

Теперь, подставим координаты каждой из точек (A, B, C, D) в это уравнение, чтобы проверить, принадлежат ли они единичной окружности:

A(1/2; -1/2): (1/2)^2 + (-1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 ≠ 1

B(√3/2; -1/2): (√3/2)^2 + (-1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1 ≠ 1

C(-√3/4; 1/4): (-√3/4)^2 + (1/4)^2 = 3/16 + 1/16 = 1/4 ≠ 1

D(0; √2/2): (0)^2 + (√2/2)^2 = 0 + 1/2 = 1/2 ≠ 1

Итак, ни одна из точек A, B, C, D не принадлежит единичной окружности.

Чтобы найти значение угла, соответствующего данной точке, можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Однако, так как ни одна из данных точек не лежит на единичной окружности, угол не имеет смысла.

Задание 2:

Дано две стороны треугольника AB = 4 см и BC = 5 см, а также угол между ними ∠BAC = 60 градусов.

1. Для нахождения третьей стороны треугольника можно воспользоваться законом косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠BAC) c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * cos(60°) c^2 = 16 + 25 - 40 * 0.5 c^2 = 16 + 25 - 20 c^2 = 21 c = √21

2. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: Периметр = AB + BC + AC = 4 + 5 + √21 ≈ 4 + 5 + 4.58 ≈ 13.58 см

3. Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника: Площадь = (1/2) * a * b * sin(∠BAC) Площадь = (1/2) * 4 * 5 * sin(60°) Площадь = (1/2) * 20 * (√3/2) = 10 * (√3/2) ≈ 8.66 кв. см

4. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, можно найти с помощью формулы: Радиус описанной окружности = (abc) / (4 * S), где a, b и c - стороны треугольника, а S - его площадь.

Радиус описанной окружности = (4 * 5 * √21) / (4 * 8.66) ≈ (20 * √21) / 34.64 ≈ 2.86 см

Задание 3:

В треугольнике ABC даны стороны AB = 12 и BC = 32, а также угол ∠ACB = 50 градусов.

1. Для нахождения угла ∠BAC можно воспользоваться законом косинусов: cos(∠BAC) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos(∠BAC) = (12^2 + 32^2 - BC^2) / (2 * 12 * 32) cos(∠BAC) = (144 + 1024 - 1024) / (2 * 12 * 32) cos(∠BAC) = 144 / (2 * 12 * 32) cos(∠BAC) = 1 / (2 * 32) cos(∠BAC) = 1 / 64

∠BAC = arccos(1 / 64)

2. Угол ∠ABC можно найти, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов: ∠ABC = 180 - ∠BAC - ∠ACB ∠ABC = 180 - ∠BAC - 50

Теперь вычислим значение угла ∠BAC с помощью калькулятора, так как оно не является тривиальным. После этого можно найти значение ∠ABC.

Сколько решений имеет данная задача зависит от значений угла ∠BAC, и она может иметь одно или два решения, в зависимости от конкретных числовых данных.