Question

Пусть движение перенесет треугольник АВС в треугольник а'В'С'. Докажите, что высоты, медианы и биссектрисы треугольника АВС являются соответственно высотами, медианами и биссектрисами треугольника А'В'С'.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Любое движение фигуры - перенос, поворот, отражение - не меняет размеры фигуры и углы между сторонами. Поэтому  высоты, медианы и биссектрисы исходной фигуры переходят в соответственные в перенесенной фигуре.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам нужно вспомнить, что два треугольника будут подобными, если и только если их углы сходятся попарно и пропорциональны, а их стороны пропорциональны соответственно.

Давайте рассмотрим три случая: высоты, медианы и биссектрисы.

1. Высоты:

Высоты треугольника АВС будут перпендикулярны соответствующим сторонам (AB, BC и CA), и они также будут пересекаться в одной общей точке, называемой ортоцентром треугольника АВС.

Когда мы выполняем движение, переносящее треугольник АВС в треугольник А'В'С', углы между высотами и сторонами не изменяются, так как движение не меняет углы между отрезками. Поэтому высоты треугольника АВС останутся перпендикулярными соответствующим сторонам треугольника А'В'С', и их пересечение сохранится, что делает их высотами треугольника А'В'С'.

2. Медианы:

Медианы треугольника АВС соединяют вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Поскольку движение не изменяет отношение расстояния между точками, медианы также будут соединять вершины треугольника А'В'С' с серединами противоположных сторон. Таким образом, медианы треугольника АВС останутся медианами треугольника А'В'С'.

3. Биссектрисы:

Биссектрисы треугольника АВС делят углы треугольника на две равные части. Движение не изменяет углы между отрезками, поэтому биссектрисы треугольника АВС также будут делить углы треугольника А'В'С' на две равные части, что делает их биссектрисами треугольника А'В'С'.

Таким образом, мы доказали, что высоты, медианы и биссектрисы треугольника АВС остаются соответственно высотами, медианами и биссектрисами треугольника А'В'С' после движения, которое переносит один треугольник в другой.