Question

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює b і нахилене до площини основи під кутом (альфа) . Знайдіть площу поверхні сфери , описаної навколо даної піраміди.

Answer 1

Ответ:

Площадь описанной сферы:

$\boldsymbol{S=\dfrac{\pi b^2}{\sin^2\alpha}}$

Объяснение:

В правильной треугольной пирамиде основание - правильный треугольник, боковые ребра равны.

Центр сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, лежит на высоте или ее продолжении.

SH - высота пирамиды, О - центр описанной сферы.

SO = R - радиус описанной сферы.

АН - проекция SA на плоскость основания, значит ∠SAH = α.

ΔASH:  ∠AHS = 90°

 SH = SA · sin α = b · sin α

Проведем ОК - серединный перпендикуляр к ребру SA.

ΔASH ~ ΔOSK по двум углам:

• ∠AHS = ∠OKS = 90°,
• угол при вершине S общий.

$\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SO}{SA}$

$\dfrac{\dfrac{b}{2}}{b\cdot \sin \alpha}=\dfrac{R}{b}$

$\dfrac{1}{2\sin\alpha}=\dfrac{R}{b}$

$R=\dfrac{b}{2\sin\alpha }$

Площадь сферы:

S = 4πR²

$S=4\pi \cdot \dfrac{b^2}{4\sin^2\alpha}$

$\boldsymbol{S=\dfrac{\pi b^2}{\sin^2\alpha}}$

Answer 2

Для знаходження площі поверхні сфери, описаної навколо даної правильної трикутної піраміди, нам спочатку потрібно знайти радіус цієї сфери. Відомо, що бічне ребро піраміди дорівнює "b", і це ребро утворює кут "α" з площиною основи.

Розглянемо напівбічну сторону трикутника, утвореного бічним ребром піраміди, радіусом описаної сфери і половиною довжини бічного ребра піраміди як катетами. Ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження радіусу сфери.

cos(α) = adjacent / hypotenuse cos(α) = b / (2 * радіус)

Тут "adjacent" - це половина довжини бічного ребра піраміди (b/2), а "hypotenuse" - радіус описаної сфери.

Тепер ми можемо виразити радіус описаної сфери:

радіус = (b / 2) / cos(α)

Тепер, коли ми знайшли радіус сфери, ми можемо знайти її площу поверхні за допомогою формули для площі поверхні сфери:

Площа поверхні сфери = 4 * π * радіус^2

Підставляючи значення радіусу з попереднього обчислення, ми отримаємо:

Площа поверхні сфери = 4 * π * [(b / 2) / cos(α)]^2

Це і є площа поверхні сфери, описаної навколо даної правильної трикутної піраміди.