Question

Помогите, пожалуйста, с геометрией. ❗❗❗Дан равнобедренный треугольник ABC, где АС = ВС, А(1; -2; 1), В(3; 2; -3), точка С лежит на оси ординат. Найти стороны треугольника АВС​

Answer 1

C(0;y;0)

AC^2=(1-0)^2+(-2-y)^2+(1-0)^2=1+4+4y+y^2+1=y^2+4y+6

BC^2=(3-0)^2+(2-y)^2+(-3-0)^2=9+4-4y+y^2+9=y^2-4y+22

AC=BC; AC^2=BC^2

y^2+4y+6=y^2-4y+22

8y=16

y=2

C(0;2;0)

AC^2=4+8+6=18; AC=BC=√18=3√2

AB^2=(3-1)^2+(2+2)^2+(-3-1)^2=4+16+16=36

AB=6

Answer 2

Для начала, давайте найдем координаты точки C, которая лежит на оси ординат и которая равноудалена от точек A и B, так как треугольник ABC - равнобедренный.

Поскольку точка C лежит на оси ординат, ее координаты имеют вид (0, y, 0). Расстояние между точками A и C равно расстоянию между точками B и C.

Используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Для точек A(1, -2, 1) и C(0, y, 0) расстояние равно расстоянию между точками B(3, 2, -3) и C(0, y, 0).

$$\sqrt{(3 - 0)^2 + (2 - y)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - y)^2 + (1 - 0)^2}$$

Упростим:

$$9 + (2 - y)^2 + 9 = 1 + (-2 - y)^2 + 1$$

$$18 + (2 - y)^2 = 2 + (-2 - y)^2$$

$$16 = (-2 - y)^2 - (2 - y)^2$$

$$16 = (-2 - y + 2 - y)(-2 - y - 2 + y)$$

$$16 = (-4 - 2y)(-4)$$

$$16 = 8 + 4y$$

$$4y = 8$$

$$y = 2$$

Таким образом, координаты точки C равны (0, 2, 0).

Теперь, найдем длину сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Для стороны AB:

$$\sqrt{(3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$$

Для стороны AC:

$$\sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$$

Таким образом, стороны треугольника ABC равны 6, 6 и $\sqrt{18}$.