Question

Даны вершины треугольника abc a(1 2 3) b(4 -10 7) c(3 -1 9) Найдите координаты середины отрезка ВС. Найдите длину медианы , проведенные из вершины А. 20 Баллов.

Answer 1

Ответ:

Координаты точки середины отрезка BC - (3,5;-5,5;8)

Длинна медианы проведенной из вершины A к стороне BC $\boxed{2,5\sqrt{14} }$

Объяснение:

Координаты вершин треугольника:

A(1;2;3)

B(4;-10;7)

C(3;-1;9)

Пусть середина отрезка BС это точка M. Пусть координаты точки $M(x_{M};y_{M};z_{M})$. Найдем координаты точки M по формуле координат середины отрезка:

$x_{M} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$

$y_{M} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{-10 - 1}{2} = \frac{-11}{2} = -5,5$

$z_{M} = \frac{z_{B} + z_{C}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Координаты точки M(3,5;-5,5;8)

По формуле длинна отрезка AM:

$AM = \sqrt{(x_{M} - x_{A})^{2} + (y_{M} - y_{A})^{2} + (z_{M} - z_{A})^{2}} = \sqrt{(3,5 - 1)^{2} + (-5,5 - 2)^{2} + (8 - 3)^{2}}=$$=\sqrt{(2,5)^{2} + (-7,5)^{2} + (5)^{2}} = \sqrt{6,25 + 56,25 + 25} = \sqrt{87,5} = 2,5\sqrt{14}$

Answer 2

Давайте разберемся с каждой частью задачи.

1. Найдем координаты середины отрезка BC. Формула для нахождения середины отрезка (x, y, z) между двуми точками P(x1, y1, z1) и Q(x2, y2, z2) выглядит следующим образом:

$x = \frac{{x1 + x2}}{2}$ $y = \frac{{y1 + y2}}{2}$ $z = \frac{{z1 + z2}}{2}$

В данном случае, B(4, -10, 7) и C(3, -1, 9). Подставляем координаты:

$x = \frac{{4 + 3}}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ $y = \frac{{-10 - 1}}{2} = \frac{-11}{2} = -5.5$ $z = \frac{{7 + 9}}{2} = 8$

Итак, середина отрезка BC имеет координаты (3.5, -5.5, 8).

2. Длина медианы, проведенной из вершины A, можно найти, используя формулу:

$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

где a, b и c - длины сторон треугольника. В данном случае, точки A(1, 2, 3), B(4, -10, 7) и C(3, -1, 9).

Длины сторон можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}$

Длина стороны a (между B и C):

$a = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-10 - (-1))^2 + (7 - 9)^2} = \sqrt{1 + 81 + 4} = \sqrt{86}$

Длина стороны b (между A и C):

$b = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Длина стороны c (между A и B):

$c = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-10 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$

Теперь можем найти длину медианы:

$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(7^2) + 2(13^2) - ( \sqrt{86})^2}$

$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{98 + 338 - 86}$