Question

3. Знайдіть площу ромба, сторона якого дорівнює 5см, а один з кутів - 120° . 4. Знайдіть площу ромба, якщо його периметр дорівнює 40 см, а одна з діагоналей 12см.

Answer 1

1.

Sромба =а²* sinα=25*√3/2=25√3/2 см²

2.

а=40:4=10 см;

Найдем угол ромба по теореме косинусов

12²=10²+10²-2*10*10*cosα

144=100+100-200*cosα

200cosα=56;  cosα=0,28;  α≈74°

Sромба =а²* sinα=100*0,961≈96,1 см²

Answer 2

1. Знайдімо площу ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а один з кутів - 120°. Ромб може бути розділений на два рівні трикутники, кожен з яких має бічну сторону довжиною 5 см і кут між цією стороною та однією з діагоналей 120°. Такі трикутники є рівносторонніми.

Таким чином, площа одного такого трикутника дорівнює: $S_{тр} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4}.$

Площа всього ромба буде подвоєною площею одного трикутника: $S_{р} = 2 \cdot S_{тр} = 2 \cdot \frac{25 \sqrt{3}}{4} = \frac{50 \sqrt{3}}{4}.$

Отже, площа ромба дорівнює $\frac{50 \sqrt{3}}{4}$ квадратних сантиметрів.

2. Знайдімо площу ромба, якщо його периметр дорівнює 40 см і одна з діагоналей має довжину 12 см. Спочатку знайдемо довжину сторін ромба.

Позначимо довжину сторони ромба через "a". Оскільки ромб має чотири однакові сторони, то периметр можна представити як: $P = 4a = 40 \, \text{см}.$

Розв'яжемо це рівняння для "a": $4a = 40 \, \text{см} \implies a = \frac{40 \, \text{см}}{4} = 10 \, \text{см}.$

Тепер ми знаємо довжину сторони ромба (a = 10 см). Далі можемо знайти площу ромба, використовуючи одну з його діагоналей. Позначимо довжину діагоналі через "d". Ми знаємо, що одна з діагоналей має довжину 12 см. Площа ромба може бути знайдена за формулою:

$S_{р} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2},$

де $d_1$ і $d_2$ - діагоналі ромба.

Знаючи одну діагональ ($d_1 = 12 \, \text{см}$) і довжину сторони ($a = 10 \, \text{см}$), ми можемо знайти другу діагональ $d_2$ за допомогою півкосинусного правила для трикутника:

$\cos(\angle A) = \frac{d_2}{2a},$

де $\angle A$ - кут між діагоналями. Один з кутів в ромбі дорівнює 120°, тому $\angle A = \frac{120°}{2} = 60°$. Перетворимо це рівняння для $d_2$:

$\cos(60°) = \frac{d_2}{2 \cdot 10 \, \text{см}},$

$\frac{1}{2} = \frac{d_2}{20 \, \text{см}},$

$d_2 = 10 \, \text{см}.$

Тепер ми знаємо обидві діагоналі ромба ($d_1 = 12 \, \text{см}$ і $d_2 = 10 \, \text{см}$), і можемо знайти площу ромба:

$S_{р} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \, \text{см} \cdot 10 \, \text{см}}{2} = \frac{120 \, \text{см}^2}{2} = 60 \, \text{см}^2.$

Отже, площа ромба дорівнює 60 квадратних сантиметрів.