Question

Периметр равнобедренного треугольника равен 6.Каково должно быть его основание, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим.

Answer 1

Ответ: АС = 3

красивая задачка. Сначала решил как тело вращения через определенный интеграл, а потом подумал, что слишком сложно.

Объяснение:

во вложенных файлах.

Answer 2

Чтобы найти наибольший объем тела, образованного вращением равнобедренного треугольника вокруг его основания, нам нужно определить оптимальную длину основания треугольника. Давайте обозначим длину основания как "b" и высоту как "h" (высота перпендикулярна к основанию).

Известно, что периметр равнобедренного треугольника равен 6. Поскольку он равнобедренный, мы можем разделить периметр на две равные части: 6/2 = 3. Это означает, что длина одной стороны треугольника (боковой стороны) равна 3.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания (b/2), половиной боковой стороны (3/2) и высотой h. Мы имеем:

(3/2)^2 + h^2 = (b/2)^2

9/4 + h^2 = b^2/4

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

9 + 4h^2 = b^2

Теперь нам нужно максимизировать объем вращенной фигуры. Объем вращенной фигуры можно выразить как:

V = (1/3) * π * r^2 * h

где r - это радиус окружности, полученной вращением треугольника, а h - высота треугольника.

Для равнобедренного треугольника радиус можно выразить как половину основания:

r = b/2

Теперь, чтобы максимизировать объем, мы должны максимизировать функцию V относительно b и h. Мы уже имеем связь между b и h (уравнение 9 + 4h^2 = b^2), поэтому мы можем выразить r и h через b и подставить их в формулу для объема.

r = b/2 h = √(b^2/4 - 9/4)

Теперь подставим r и h в формулу для объема:

V = (1/3) * π * (b/2)^2 * √(b^2/4 - 9/4)

Чтобы найти максимум V, мы можем взять производную V по b и приравнять ее к нулю:

dV/db = 0

Вычислите производную и приравняйте ее к нулю, чтобы найти оптимальное значение b, которое максимизирует объем V. Это будет оптимальная длина основания для максимального объема вращенной фигуры.