Question

Докажите , что значение выражения (n-2)×(n+2)-(n-11)×(n+2) кратно 9 при всех натуральных значениях n .

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(n-2)×(n+2)-(n-11)×(n+2)=(n²-9)-(n²-9n-22)=n²-9-n²+9n+22=9n+18=9(n+2)

делится на 9 при n∈N

ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(n-2) \times (n+2) - (n-11) \times (n+2)$ кратно 9 при всех натуральных значениях $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. База индукции: Для $n = 1$, выражение равно $(1-2) \times (1+2) - (1-11) \times (1+2) = -5 \times -10 = 50$, что кратно 9 (так как $50 = 9 \times 5 + 5$).

2. Шаг индукции: Предположим, что для некоторого $k$ выражение $(k-2) \times (k+2) - (k-11) \times (k+2)$ кратно 9.

Теперь давайте рассмотрим выражение для $n = k+1$: $(k+1-2) \times (k+1+2) - (k+1-11) \times (k+1+2)$

Раскроем скобки и упростим: $(k-1) \times (k+4) - (k-10) \times (k+3)$

Раскроем ещё раз и упростим: $k^2 + 3k - 4 - (k^2 - 7k + 30)$

Теперь сгруппируем члены и упростим: $10k - 34$

Это выражение равно $9 \times k + (k - 34)$. Поскольку предположение индукции утверждает, что выражение $(k-2) \times (k+2) - (k-11) \times (k+2)$ кратно 9, мы можем записать $k - 34$ как $9 \times m$ для некоторого целого $m$.

Таким образом, мы получаем: $9 \times k + (k - 34) = 9 \times k + 9 \times m = 9 \times (k + m)$

Это доказывает, что если выражение кратно 9 для некоторого $k$, то оно также кратно 9 для $k+1$.

Таким образом, доказано, что выражение $(n-2) \times (n+2) - (n-11) \times (n+2)$ кратно 9 для всех натуральных значений $n$.