Question

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2. а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD. б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Answer 1

Пусть А - начало координат.

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - перпендикулярно ABCD в сторону S

Высота пирамиды ( из треугольника ACS )

√(5^2-25/2) = 5/√2

Координаты точек

P( 1;1;√2)

Q(2;0;0)

R(5;3;0)

S(2,5;2,5;5/√2)

D(0;5;0)

Вектор

SD (-2,5;2,5;-5/√2)

Уравнение плоскости PQR

ax+by+cz+d=0

подставляем координаты точек P Q R

a+b+√2c+d=0

2a+d=0

5a+3b+d=0

Пусть d= 2  Тогда a= -1 b= 1 c=-√2

Уравнение плоскости

-x+y-√2z+2=0

или

-2,5x +2,5y-5z/√2+5=0

нормальное уравнение плоскости

k= √(1+1+2)=2

-x/2+y/2-z/√2+1=0

a) Нормаль к плоскости PQR

-2,5x +2,5y-5z/√2+5=0

cовпадает с вектором

SD  (-2,5;2,5;-5/√2)

Перпендикулярны

б) Подставляем координаты точки D(0;5;0) в нормальное уравнение плоскости PQR

-x/2+y/2-z/√2+1=0

для нахождения расстояния

5/2+1 = 3,5

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности плоскости PQR к ребру SD, мы можем воспользоваться свойством центральной симметрии правильной четырёхугольной пирамиды. Поскольку все рёбра равны и даны следующие равенства: PA = AQ = RC = 2, давайте обратим внимание на следующие факты:

1. Ребра SA, AB, BC имеют одинаковую длину (5).
2. Точки P, Q, R лежат на этих рёбрах так, что PA = AQ = RC = 2.

Теперь рассмотрим два треугольника: SAD и BCD.

В SAD:

• SA = SD (по построению пирамиды)
• PA = 2 (по условию)

Теперь рассмотрим BCD:

• BC = BD (по построению пирамиды)
• RC = 2 (по условию)

Оба этих треугольника имеют две стороны равной длины и одинаковые углы при вершинах A и C (по построению пирамиды).

Теперь давайте рассмотрим треугольники SPA и CRB.

В SPA:

• PA = 2 (по условию)
• SA = 5 (по построению пирамиды)

В CRB:

• RC = 2 (по условию)
• BC = 5 (по построению пирамиды)

Оба эти треугольника также имеют две стороны равной длины и одинаковые углы при вершинах P и R.

Теперь мы видим, что треугольники SPA и CRB равны по сторонам и углам, что означает, что они конгруентны. Это также означает, что угол PSR (между плоскостью PQR и ребром SD) равен углу CSB (между ребром BC и ребром BD).

Так как угол CSB равен 90 градусов (ребро BC перпендикулярно ребру BD в пирамиде), то и угол PSR также равен 90 градусов. Это доказывает, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD (так как угол между ними равен 90 градусов).

Теперь перейдем ко второй части задачи: нахождению расстояния от вершины D до плоскости PQR.

Расстояние от точки до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

d = |AD| * sin(угол PQR),

где |AD| - расстояние от вершины D до плоскости PQR, а угол PQR равен 90 градусов (как мы доказали в первой части задачи).

Теперь найдем |AD|:

• AD = AB + BD = 5 + 5 = 10 (по построению пирамиды).

Теперь мы можем найти расстояние |AD| * sin(угол PQR):

d = 10 * sin(90°) = 10.

Итак, расстояние от вершины D до плоскости PQR равно 10.