Question

14. В треугольнике ABC проведена медиана ВВ1. Докажите, что ВВ1 < (АВ + BC)/2​

Answer 1

Объяснение:

Проведем СД параллельно АВ и той же длины и продлим ВВ1 на такое же расстояние. АВСД - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны), ВД - его диагональ. Согласно правилу треугольника  ВД < ВС + СД = АВ + ВС и соответственно. ВВ1 = ВД / 2 < (AB + BC) / 2

Достроив тр-к до параллелограмма, где ВВ1 - половина диагонали, убедимся что сумма смежных сторон параллелограмма больше диагонали, равной удвоенной медиане, так как ломаная всегда больше прямой:АВ + ВС >2BB1(AB+BC)/2 >BB1 что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства неравенства BВ₁ < (AB + BC)/2 в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться неравенством треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Мы можем применить это неравенство к треугольнику ABВ₁:

AB + BВ₁ > АВ₁,

и к треугольнику BСВ₁:

BC + BВ₁ > ВС₁.

Теперь сложим эти два неравенства:

AB + BВ₁ + BC + BВ₁ > АВ₁ + ВС₁.

Обратите внимание, что АВ₁ и ВС₁ - это медианы треугольника ABC, и известно, что медиана делит сторону треугольника пополам. Таким образом, мы можем записать:

АВ₁ = 1/2 * AB, ВС₁ = 1/2 * BC.

Подставляем это в неравенство:

AB + BВ₁ + BC + BВ₁ > 1/2 * AB + 1/2 * BC.

Теперь выразим BВ₁:

2 * BВ₁ > 1/2 * AB + 1/2 * BC.

Умножим обе стороны неравенства на 1/2:

BВ₁ > 1/4 * AB + 1/4 * BC.

Теперь мы видим, что BВ₁ больше чем среднее арифметическое от AB и BC, деленное на 2:

BВ₁ > (AB + BC)/4.

Умножим обе стороны на 4:

4 * BВ₁ > AB + BC.

И наконец, разделим обе стороны на 4:

BВ₁ > (AB + BC)/4.

Таким образом, мы доказали неравенство BВ₁ > (AB + BC)/4, что эквивалентно вашему исходному утверждению BВ₁ < (AB + BC)/2.