Question

В треугольнике АВС : AB = 8 ; AC = 10 ; BC = 6 . D - точка , лежащая на стороне АС . В треугольники ABD и DBC вписаны окружности . Вторая общая касательная к этим окружностям ( отличная от АС ) пересекает отрезок BD в точке L . Найти длину отрезка BL

Answer 1

1) Я долго сомневался, как лучше сделать, и все-таки решил не выводить здесь известные свойства внешних и внутренних касательных к двум окружностям. Просто перечислю то, что нужно знать для решения этой задачи. Найдите в учебниках или докажите сами.

LD = NP = KQ;

кроме того, равны и "кусочки" этих отрезков:

LN = LW = DZ = DQ; DK = DW = LZ = LP;

(некоторые, я в том числе, испытывают серьезные трудности восприятия этих равенств, когда впервые с ними сталкиваются, особенно с учетом того, как просто они получаются)

2) BZ = BF = BL + LZ = BL + DK; аналогично BT = BW = BL + DQ;

=> BL + DK + BL + DQ + CT + AF + AC = 2p; (как всегда, p - полупериметр ABC)

CT + AF = AC - QK;

=> 2*BL + QK + 2*AC - QK = 2p;

=> BL = p - AC = (AB + BC - AC)/2 = 2; это в точности равно радиусу вписанной в ABC окружности.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся шаг за шагом:

1. Внутренние углы треугольника ABC можно найти с использованием закона косинусов. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

   $\cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$

   Подставляем известные значения:

   $\cos(\angle BAC) = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = \frac{64 + 100 - 36}{160} = \frac{128}{160} = \frac{4}{5}$

   Теперь мы можем найти угол $\angle BAC$ с помощью обратного косинуса:

   $\angle BAC = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) \approx 36.87^\circ$

2. Далее, мы можем найти угол $\angle BAD$, так как он равен половине угла $\angle BAC$, так как окружность, вписанная в треугольник ABD, касается стороны AB и AC:

   $\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} \approx \frac{36.87^\circ}{2} \approx 18.44^\circ$

3. Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности треугольника ABD. Для этого используется следующая формула:

   $r_{ABD} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAD)}{AB + AC}$

   Подставляем известные значения:

   $r_{ABD} = \frac{8 \cdot 10 \cdot \sin(18.44^\circ)}{8 + 10} \approx \frac{80 \cdot 0.317}{18} \approx \frac{25.36}{18} \approx 1.41$

4. Теперь у нас есть радиус вписанной окружности треугольника ABD. Поскольку точка D является точкой касания этой окружности, то BD является радиусом этой окружности:

   $BD = r_{ABD} \approx 1.41$

5. Далее, мы хотим найти длину отрезка BL. Мы уже нашли BD, и нам нужно найти длину AL. Заметим, что треугольник ALC является прямоугольным треугольником, и мы можем использовать теорему Пифагора:

   $AC^2 = AL^2 + LC^2$

   Подставляем известные значения:

   $10^2 = AL^2 + (BC - LC)^2$

   Мы знаем, что BC = 6, поэтому:

   $10^2 = AL^2 + (6 - LC)^2$

6. Теперь нам нужно найти длину LC. LC - это длина отрезка между точкой L и точкой касания окружности, вписанной в треугольник DBC, с стороной BC. Заметим, что этот радиус также равен радиусу окружности внутри треугольника DBC, и мы можем найти его, используя аналогичные вычисления:

   $r_{DBC} = \frac{BC \cdot AB \cdot \sin(\angle BDC)}{BC + AB}$

   Угол $\angle BDC$ равен половине угла $\angle BAC$, так как обе окружности касаются стороны BC:

   $\angle BDC = \frac{\angle BAC}{2} \approx \frac{36.87^\circ}{2} \approx 18.44^\circ$

   Подставляем известные значения:

   $r_{DBC} = \frac{6 \cdot 8 \cdot \sin(18.44^\circ)}{6 + 8} \approx \frac{48 \cdot 0.317}{14} \approx \frac{15.216}{14} \approx 1.09$

   Теперь мы знаем радиус окружности внутри треугольника DBC, и это равно LC:

   $LC \approx 1.09$

7. Теперь мы можем найти длину AL, используя уравнение из шага 5:

   $10^2 = AL^2 + (6 - 1.09)^2$

   $100 = AL^2 + (4.91)^2$<