Question

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 14, BC = 8 и медианой BM = 9. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

формула медианы треугольника:

4BM²=2BC²+2AB²-AC²

AC²=2BC²+2AB²-4BM²=2·8²+2·14²-4·9²=128+392-324=196=14²

AC=14=AB⇒AC=AB⇒ΔABC равнобедренный

Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC сначала найдем его высоту из вершины A. Затем, используя найденную высоту, мы проверим, что медиана BM действительно равна половине основания AC.

1. Высота из вершины A:

Пусть h обозначает высоту из вершины A. Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь (ABC) = (1/2) * AB * h

Площадь (ABC) = (1/2) * 14 * h

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABM, так как они имеют общую высоту и базу BM, которая равна половине базы AC:

Площадь (ABM) = (1/2) * AB * BM

Площадь (ABM) = (1/2) * 14 * 9

Таким образом, мы имеем:

(1/2) * 14 * h = (1/2) * 14 * 9

Отменим общие множители и решим уравнение:

14 * h = 14 * 9

h = 9

2. Теперь мы знаем, что высота из вершины A равна 9. Теперь давайте рассмотрим медиану BM. Медиана BM делит треугольник ABC на два равных треугольника ABM и BCM. Поскольку эти треугольники имеют общую высоту (высоту из вершины A) и одинаковую длину медианы BM, они также имеют равные площади.

Следовательно, треугольник ABM и треугольник BCM равны по площади.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы уже установили, что высота из вершины A равна 9, и мы знаем, что медиана BM равна 9. Таким образом, основание AC (которое в данном случае является стороной, не примыкающей к вершине A) должно быть равной длины, чтобы обеспечить равенство площадей треугольников ABM и BCM.

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, так как сторона AB равна стороне AC.