Question

В треугольнике ABC угол A = 30°, угол B = 105°. На биссектрисе угла А взяли точку D так, что угол ADC = 150°. Доказать, что АD=ВС. Желательно с рисунком.

Answer 1

Ответ:

1 )угол A=180-(30+105)=45градусов.

2) Теперь по теореме синусов найдем AB ,BC

ac/sin30=ab/sin105=bc/sin45

ab=(ac*sin105)/sin30=(4*0.97)/0.5=7.76

bc=(ac*sin45)/sin30=(4*0.7)/0.5=5.6

Answer 2

Чтобы доказать, что $AD = BC$, давайте построим треугольник $ABC$ и проведем биссектрису угла $A$, чтобы найти точку $D$, а затем докажем равенство $AD = BC$.

Вот рисунок:

cssCopy code
      C
       /\
      /  \
BC  /    \  AB
    /      \
   /___D____\
  A    AD    B

Теперь, чтобы доказать, что $AD = BC$, давайте рассмотрим два треугольника: треугольник $ADC$ и треугольник $BCD$.

В треугольнике $ADC$ у нас есть следующие данные:

• $\angle ADC = 150^\circ$ (дано в задаче)
• $\angle CAD = \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot \angle CAB = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$ (биссектриса делит угол $A$ пополам)

Теперь давайте рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике:

• $\angle BCD = \angle ACD - \angle ACB = 150^\circ - 30^\circ = 120^\circ$ (сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$)
• $\angle CBD = \angle ABD - \angle ABC = 105^\circ - 30^\circ = 75^\circ$ (сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$)

Теперь у нас есть два треугольника с одинаковыми углами:

• $\angle CAD = \angle CBD = 15^\circ$
• $\angle ADC = \angle BCD = 120^\circ$

По условию задачи, мы знаем, что в треугольнике $ADC$ угол при $D$ равен $150^\circ$, и поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle CAD = 15^\circ$.

Теперь мы видим, что треугольники $ADC$ и $BCD$ подобны, так как у них соответствующие углы равны.

Из подобия треугольников мы можем утверждать, что соответствующие стороны также пропорциональны. То есть:

$\frac{AD}{BC} = \frac{CD}{CD}$

Сокращаем $CD$ на обеих сторонах:

$\frac{AD}{BC} = 1$

Таким образом, $AD = BC$, что и требовалось доказать.