Question

Найти значения основных тригонометрических функций cos a, tg a и ctg a, если sin a = 2√3/5 , a ∈(п/2;п)

Answer 1

Ответ:

$cos \alpha =-\dfrac{\sqrt{13} }{5} ;$$tg\alpha =-\dfrac{2\sqrt{39} }{13} ;$$ctg\alpha =-\dfrac{\sqrt{39} }{6} .$

Объяснение:

$sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{3} }{5}$

α∈ $\left(\dfrac{\pi }{2} ;\pi\right )$ , то есть $\alpha$  - угол второй четверти.

воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;\\cos^{2} \alpha=1-sin^{2} \alpha ;\\cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2} \alpha}$

Так как угол второй четверти, то косинус отрицательный.

$cos \alpha =- \sqrt{1-sin^{2} \alpha} ;\\cos \alpha =- \sqrt{1-\left(\dfrac{2\sqrt{3} }{5}} \right )^{2} } =- \sqrt{1-\dfrac{12}{25}}=- \sqrt{\dfrac{25}{25}-\dfrac{12}{25} } =- \sqrt{\dfrac{13}{25} } =-\dfrac{\sqrt{13} }{5} .$

$tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } ;\\tg\alpha = \dfrac{2\sqrt{3} }{5} :\left(-\dfrac{\sqrt{13} }{5} \right)=- \dfrac{2\sqrt{3} }{5}\cdot \dfrac{5}{\sqrt{13} } =-\dfrac{2\sqrt{3} }{\sqrt{13} } =-\dfrac{2\sqrt{39} }{13} .$

$ctg\alpha =\dfrac{1}{tg\alpha } ;\\\\ctg\alpha =- \dfrac{\sqrt{13} }{2\sqrt{3} } =-\dfrac{\sqrt{39} }{6}$

Answer 2

Для нахождения значений основных тригонометрических функций cos(a), tg(a) и ctg(a), зная значение sin(a), нужно воспользоваться формулами для этих функций и учитывать ограничения на угол a.

Дано: sin(a) = 2√3/5, a ∈ (π/2, π)

Сначала найдем cos(a) с использованием тождества Пифагора:

cos(a) = ±√(1 - sin^2(a))

cos(a) = ±√(1 - (2√3/5)^2) cos(a) = ±√(1 - 12/25) cos(a) = ±√(13/25) cos(a) = ±(√13/5)

Учитывая ограничение a ∈ (π/2, π), мы знаем, что cos(a) < 0, так как cos(a) отрицателен в данном интервале.

cos(a) = -√13/5

Теперь найдем tg(a) и ctg(a):

tg(a) = sin(a) / cos(a) tg(a) = (2√3/5) / (-√13/5) tg(a) = -2√3/√13 tg(a) = -2√(3/13)

ctg(a) = 1 / tg(a) ctg(a) = 1 / (-2√(3/13)) ctg(a) = -√(13/3) / 2

Итак, значения основных тригонометрических функций для заданного угла a равны:

cos(a) = -√13/5 tg(a) = -2√(3/13) ctg(a) = -√(13/3) / 2