Question

Дан остроугольный треугольник ABC, в котором проведены высоты AA₁, BB₁ и СС₁, которые пересекаются в точке H. Около треугольник ABC описана окружность с центром в точке О. Высота СС₁ пересекает окружность в точке L. 1) Докажите, что HC₁ = C₁L. 2) Пусть на прямой HM (где M - это середина стороны AC) взята точка K такая, что HM = MK. Докажите, что точка K лежит на описанной окружности. 3) Докажите, что ∠ABO = ∠CBH. 4) Докажите, что BH = 2OM. ​

Answer 1

1) В треугольниках ΔAA₁B и ΔСС₁B углы ∠A₁ и ∠C₁ — прямые, угол ∠B — общий. Значит, углы ∠A₁AB и ∠С₁CB (∠LCB) равны (так как все углы каждого треугольника должны в сумме давать 180°).

Углы ∠LAB и ∠LCB опираются на одну дугу, значит, они равны.

∠A₁AB = ∠LCB, ∠LCB = ∠LAB ⇒ ∠A₁AB = ∠LAB. Тогда прямоугольные треугольники ΔAC₁H и ΔAC₁L равны по общему катету AC₁ и прилежащему к нему углу (∠A₁AB = ∠LAB). Значит, их соответствующие элементы равны, в частности, HC₁ = C₁L, что и требовалось доказать.

2) AM = MC, HM = MK по условию ⇒ AKCH — параллелограмм ⇒ ∠AKC = ∠AHC. ∠AHC = ∠A₁HC₁ как вертикальные ⇒ ∠AKC = ∠A₁HC₁.

∠BA₁H = ∠BC₁H = 90° (в сумме дают 180°) и опираются на один отрезок (лежат по разные стороны этого отрезка). Значит, около четырёхугольника A₁BC₁H можно описать окружность. Но тогда ∠A₁HC₁ = 180° - ∠A₁BC₁. А поскольку ∠AKC = ∠A₁HC₁, то ∠AKC = 180° - ∠A₁BC₁. Значит, четырёхугольник ABCK — вписанный, K лежит на описанной около ABC окружности, что и требовалось доказать.

3) Продлим BO до пересечения с окружностью в точке D — получим диаметр BD. Тогда ∠BAD — прямой, так как опирается на диаметр. В треугольниках ΔBAD и ΔBB₁C: ∠BAD = ∠BB₁C = 90°, ∠ADB = ∠ACB как опирающиеся на одну дугу. Значит, углы ∠ABD и ∠CB₁B также равны. Но это те же углы, что и ∠ABO и ∠CBH соответственно. Значит, ∠ABO = ∠CBH, что и требовалось доказать.

4) Пусть HM = MK. Тогда K лежит на описанной окружности по п. 2. Также по п. 2 AKCH — параллелограмм ⇒ AH║KC, но AH⊥BC ⇒ KC⊥BC. ∠KCB — прямой, значит, KB — диаметр ⇒ KO = OB.

Рассмотрим ΔKOM и ΔKBH: ∠K — общий, KO : KB = 1 : 2, KM : KH = 1 : 2 по построению ⇒ треугольники подобны ⇒ OM : BH = 1 : 2 ⇒ BH = 2OM, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данных утверждений рассмотрим каждое из них по очереди:

1. Докажем, что HC₁ = C₁L.

Поскольку ABC - остроугольный треугольник, высоты AA₁ и СС₁ пересекаются внутри треугольника в точке H. Рассмотрим треугольники C₁HC и C₁LC. У них общий угол C₁, общий угол L и общая сторона C₁C₁. Так как угол C₁HC равен углу C₁LC (по построению высот), а также угол HLC равен углу HCC₁ (как вертикальные углы), то по стороне-угол-стороне (СУС) треугольник C₁HC равен треугольнику C₁LC. Это означает, что HC₁ = C₁L.

2. Докажем, что точка K лежит на описанной окружности.

Так как M - середина стороны AC, то AM = MC. Из пункта 1) мы знаем, что HC₁ = C₁L. Поскольку HL - это радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, и CL - это радиус этой окружности, то HL = CL. Теперь у нас есть две равные стороны HL и CL и общая сторона HM. Из-за этого треугольник HLM равнобедренный, и угол HLM равен углу LHM. Так как HL равно радиусу описанной окружности, то угол LHM равен половине угла в центре окружности, который опирается на эту дугу HM. Таким образом, угол LHM равен углу LKM.

Теперь докажем, что угол LKM равен углу LOM. Так как OM - радиус описанной окружности, а OL - тоже радиус, то угол OML равен углу OLM. Так как LOM - равносторонний треугольник (все его углы равны 60 градусов), то угол LOM равен 60 градусов.

Итак, у нас есть следующая цепочка углов: LKM = LOM = 60 градусов. Значит, K лежит на описанной окружности.

3. Докажем, что ∠ABO = ∠CBH.

Так как ABC - остроугольный треугольник, то угол A и угол C острые. Это означает, что высоты AA₁ и СС₁ оба перпендикулярны к стороне AC. Таким образом, угол BAC и угол BCA являются вертикальными углами для соответствующих высот, и они равны. Теперь рассмотрим треугольники ABO и CBH. У них есть общий угол B, общая сторона AB, и общая сторона BC. Поэтому, по стороне-угол-стороне (СУС) треугольник ABO равен треугольнику CBH, и угол ABO равен углу CBH.

4. Докажем, что BH = 2OM.

Мы уже доказали, что угол LOM равен 60 градусов, и OM - это радиус описанной окружности. Также, OM равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Поскольку угол LOM равен 60 градусов, а в описанной окружности центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен удвоенному центральному углу, опирающемуся на ту же дугу, то угол LHM равен 120 градусам. Таким образом, треугольник LHM - равносторонний, и LH = HM.

Теперь рассмотрим треугольник HBM. Мы знаем, что LH = HM, и угол LHM равен 120 градусам. Таким образом, треугольник HBM - равнобедренный. Из этого следует, что BH = HM. Но мы также знаем, что HM равно половине стороны AC, то есть HM = 0.5 * AC. Таким образом, BH = 0.5 * AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него есть высота BB₁, и мы знаем, что она проходит через центр описанной окружности. Поэтому B₁O - это радиус описанной окружности, и она равна BH, то есть B₁O = BH. Также, по условию, высоты AA₁ и СС₁ пересекают окружность с центром О. Значит, AO - это радиус этой окружности, и AO = CO. Таким образом, B₁O = BH = CO.

Из этого следует, что CO = 0.5 * AC, и так как AC - это диаметр описанной окружности, то CO = 0.5 * (2 * OM) = OM * 2. Таким образом, мы доказали, что BH = 2 * OM.