Question

Неравенство треугольника. Урок 2 Докажи, что диагональ FM произвольного четырехугольника FKMN меньше его полупериметра.  1) Рассмотри ∆FKM по неравенству треугольника:  . 2) Расcмотри ∆FMN по неравенству треугольника:  . 3) Сложи почленно неравенства из пунктов 1 и 2. Получишь неравенство:  . 4) Раздели обе части неравенства на ​

Answer 1

Ответ:

1) Рассмотрим ДFКМ по неравенству треугольника: FM < FK + KM.

2) Рассмотрим ∆FMN по неравенству

треугольника: FM< FN+ MN.

3) Сложим почленно неравенства из пунктов 1 и 2. Получим неравенство: 2FM< FK + KM + NF + MN.

4) Разделим обе части неравенства на 2.

Получим следующее неравенство:

FM< FK+KM+NF + MN

Утверждение доказано.

Answer 2

Для начала, давайте обозначим стороны треугольников ∆FKM и ∆FMN следующим образом:

• Стороны ∆FKM: FK = a, KM = b, и MF = c.
• Стороны ∆FMN: FM = x, MN = y, и FN = z.

Теперь мы можем использовать неравенство треугольника для треугольников ∆FKM и ∆FMN:

1. Для треугольника ∆FKM:

a + b > c

2. Для треугольника ∆FMN:

x + y > z

Теперь мы хотим доказать, что диагональ FM четырехугольника FKNM меньше его полупериметра. Полупериметр четырехугольника равен:

S = (a + b + x + y) / 2

Теперь сложим неравенства из пунктов 1 и 2:

a + b > c x + y > z

Теперь добавим обе стороны неравенств:

(a + b) + (x + y) > c + z

Теперь мы видим, что сумма сторон треугольника ∆FKM (a + b) и сумма сторон треугольника ∆FMN (x + y) больше, чем сумма их противоположных сторон (c + z).

Теперь давайте разделим обе стороны неравенства на 2 (полупериметр четырехугольника):

(S = (a + b + x + y) / 2) > (c + z) / 2

Теперь у нас есть неравенство, которое гласит, что полупериметр четырехугольника больше, чем половина суммы диагонали FM и стороны KN:

S > (c + z) / 2

Таким образом, мы доказали, что диагональ FM четырехугольника FKNM меньше его полупериметра.