Question

) За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90° ) знайдіть його гіпотенузу та гострі кути із точністю до мінут: AC = 10√3 дм, BC = 10 дм. (тобто, розв’яжіть прямокутний трикутник).

Answer 1

Дано:

∠C = 90°;

AC = 10√3 дм;

BC = 10 дм.

Знайти:

AB, ∠A, ∠B

                                        Розв'язання:

За теоремою Піфагора:

AB² = AC² + BC² = (10√3)² + 10² = 300 + 100 = 400.

AB = √400 = 20 (дм).

Бачимо, що катет BC удвічі менший за гіпотенузу AB (бо 20 = 10 · 2). Це означає, що кут навпроти цього катета дорівнює 30°.

∠A = 30°.

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, тож:

∠B = 90 - 30 = 60°.

Відповідь: AB = 20 дм, ∠A = 30°, ∠B = 60°.

Answer 2

Для знаходження гіпотенузи і гострих кутів прямокутного трикутника ABC, де ∠C = 90°, можна скористатися теоремою Піфагора і тригонометричними функціями.

1. Гіпотенуза трикутника (AB) знаходиться за теоремою Піфагора:

   AB² = AC² + BC² AB² = (10√3)² + 10² AB² = 300 + 100 AB² = 400

   Тепер візьмемо квадратний корінь з обох сторін:

   AB = √400 AB = 20 дм

   Таким чином, гіпотенуза трикутника ABC дорівнює 20 дм.

2. Знаходження гострих кутів:

   a) Знайдемо sin(∠A):

   sin(∠A) = протилежна сторона / гіпотенуза sin(∠A) = AC / AB sin(∠A) = (10√3) / 20 sin(∠A) = (√3) / 2

   Тепер знайдемо обернену функцію синуса (sin⁻¹) для знаходження гострого кута ∠A:

   ∠A = sin⁻¹(√3 / 2)

   Використовуючи значення sin⁻¹(√3 / 2), отримаємо:

   ∠A ≈ 60°

   б) Знайдемо гострий кут ∠B:

   Так як у прямокутному трикутнику сума всіх кутів дорівнює 180°, то:

   ∠B = 90° - ∠A ∠B = 90° - 60° ∠B = 30°

   Таким чином, гострий кут ∠B дорівнює приблизно 30°.

Отже, відповіді:

• Гіпотенуза трикутника ABC дорівнює 20 дм.
• Гострий кут ∠A ≈ 60°.
• Гострий кут ∠B ≈ 30°.