Question

Cрочно! Знайдіть площу фігури, обмеженої заданими лініями. y=5x-3; y=x^2-5x-3

Answer 1

Ответ:

S = 500/3

Объяснение:

y = 5x-3;
y = x^2-5x-3

Для нахождения корней уравняем функции между собой
5x-3 = x^2-5x-3
x^2-5x-3-5x+3 = 0
x^2-10x = 0
x(x-10) = 0
x₁ = 0; x₂ = 10
Получается графики пересекаются в точках х = 0 и х = 10

Чтобы понять какая из функций находится выше другой, подставим любой х, например равный 1:
y₁ = 5*1-3 = 5-3 = 2; у₂ = 1^2-5*1-3 = 1-5-3 = -7
Получается, что первая функция находится выше второй, т. к. 2>-7

$\displaystyle \int\limits^{10}_{0} {5x-3-(x^2-5x-3)} \, dx= \int\limits^{10}_{0} {5x-3-x^2+5x+3} \, dx= \int\limits^{10}_{0} {10x-x^2} \, dx= \int\limits^{10}_{0} {10x} \, dx- \int\limits^{10}_{0} {x^2} \, dx= 10*\frac{x^2}{2}|^{10}_{0} -\frac{x^3}{3} |^{10}_{0}=\frac{10}{2}*(10^2-0^2)-\frac{1}{3}*(10^3-0^3) =5*100-\frac{1}{3}* 1000=100*(5-\frac{10}{3} )=100*\frac{5}{3}=\frac{500}{3}=166\frac{2}{3}$

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої заданими лініями, спочатку треба знайти точки їх перетину. Потім вирахувати площу між ними. В даному випадку ми маємо систему рівнянь:

1. y = 5x - 3
2. y = x^2 - 5x - 3

Для знаходження точок перетину ми вирішуємо систему рівнянь, вирівнюючи обидва вирази для y:

5x - 3 = x^2 - 5x - 3

Вирази -3 скасовуються, і ми отримуємо наступне рівняння:

5x = x^2 - 5x

Перепишемо його у стандартній формі:

x^2 - 5x - 5x = 0

x^2 - 10x = 0

Тепер ми можемо вирішити це квадратне рівняння. Ми можемо використовувати квадратну формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

У цьому випадку:

a = 1, b = -10, c = 0

x = (10 ± √(10^2 - 4 * 1 * 0)) / (2 * 1)

x = (10 ± √100) / 2

x = (10 ± 10) / 2

x1 = (10 + 10) / 2 = 20 / 2 = 10 x2 = (10 - 10) / 2 = 0 / 2 = 0

Отже, у нас є дві точки перетину: x1 = 10 і x2 = 0.

Тепер ми можемо знайти відповідні значення y для цих точок, використовуючи рівняння (1) і (2):

Для x1 = 10: y1 = 5x1 - 3 = 5 * 10 - 3 = 50 - 3 = 47

Для x2 = 0: y2 = 5x2 - 3 = 5 * 0 - 3 = 0 - 3 = -3

Отже, маємо дві точки перетину: (10, 47) і (0, -3).

Тепер ми можемо знайти площу фігури, обмеженої цими лініями. Для цього обчислимо інтеграл від функції (1) до функції (2) за відповідними межами x1 і x2:

Площа = ∫[0, 10] (5x - 3 - (x^2 - 5x - 3)) dx

Площа = ∫[0, 10] (5x - 3 - x^2 + 5x + 3) dx

Площа = ∫[0, 10] (8x - x^2) dx

Площа = [4x^2 - (x^3/3)] |[0, 10]

Площа = (4 * 10^2 - (10^3/3)) - (4 * 0^2 - (0^3/3))

Площа = (4 * 100 - (1000/3)) - (0 - 0)

Площа = (400 - 333.33) - 0

Площа ≈ 66.67

Отже, площа фігури, обмеженої заданими лініями, приблизно дорівнює 66.67 квадратним одиницям.