Question

Точка M рівновіддалена від вершин квадрата ABCD. Кут між прямою MA та площиною ABC дорівнює α. Знайди кут між площинами MAB і ABC.

Answer 1

Ответ:

arctg(√2*tg∝)

Объяснение:

т.к. расстояние от точки М до вершин квадрата одинаково, то проекции этих расстояний на плоскость квадрата тоже будут равны, поэтому угол наклона между прямой МА и плоскостью ∝- это угол наклона между МА и проекцией МА на плоскость ∝, которая равна половине диагонали квадрата. если сторона квадрата х, то половина диагонали равна х√2/2

если из точки М к АВ провести перпендикуляр, то проекция этого перпендикуляра, равная половине стороны квадрата х/2, тоже будет по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна АВ, и тогда, чтобы найти угол между плоскостями MAB и ABC, надо расстояние от точки М до плоскости ( это будет х√2*tg∝/2) поделить на половину стороны квадрата х/2, это мы найдем тангенс угла наклона МАВ к АВС

и он равен (х√2*tg∝/2):(х/2)=tgβ⇒β=arctg(√2*tg∝)

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію з описаного вам завдання крок за кроком.

1. Почнемо з того, що точка M рівновіддалена від вершин квадрата ABCD. Оскільки квадрат має чотири вершини, то це означає, що відстань від точки M до кожної вершини однакова.

2. Для спрощення розглянемо лише дві вершини квадрата: A і B. Отже, відстань від точки M до вершини A дорівнює відстані від точки M до вершини B.

3. Тепер, коли ми маємо дві точки - M і A, можемо побудувати вектор MA (вектор, що вказує з точки M на точку A).

4. Зараз ми маємо вектор MA, і нам потрібно знайти кут між цим вектором і площиною ABC. Для цього використаємо скалярний добуток.

5. Скалярний добуток векторів MA і n, де n - нормаль до площини ABC, дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

   MA ⋅ n = |MA| * |n| * cos(α),

   де |MA| - довжина вектора MA, |n| - довжина вектора n, α - кут між векторами MA і n.

6. Відомо, що точка M рівновіддалена від вершин квадрата ABCD, отже, відстань від M до будь-якої вершини квадрата дорівнює d, де d - це відстань від M до центра квадрата (половина діагоналі квадрата).

7. Також відомо, що відстань від точки M до вершини A (або B) дорівнює d. Отже, |MA| = |MB| = d.

8. Площина ABC - це площина квадрата ABCD. Нормаль до цієї площини спрямована вздовж вектора, що вказує від вершини A до вершини B (або на оборот). Тобто, вектор n буде спрямований вздовж вектора AB (або BA).

9. Тепер ми маємо всі необхідні дані, щоб знайти кут між площинами MAB і ABC. Підставимо всі ці дані у формулу скалярного добутку:

   MA ⋅ n = |MA| * |n| * cos(α).

   d * d * cos(α) = d^2 * cos(α).

10. Знайдемо кут між площинами MAB і ABC, позначений як β, якщо MA ⋅ n = d^2 * cos(β):

β = arccos(cos(α)).

11. Але оскільки ми знаємо, що MA рівновіддалена від вершин квадрата ABCD, то кут α дорівнює 45 градусам, тобто α = 45 градусів. Тепер ми можемо знайти кут β:

β = arccos(cos(45°)) = arccos(√2 / 2).

12. За допомогою оберненої тригонометричної функції arccos ми знаходимо:

β ≈ 45 градусів.

Отже, кут між площинами MAB і ABC дорівнює приблизно 45 градусів.