Question

Медіани грані ADB тетраедра DABС перетинаються в точці Е, а медіани грані BDC - у точці F. Доведіть, що пряма EF паралельна площині АВС. ДАЮ 40 БАЛОВ!!!!​

Answer 1

Ответ:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

Answer 2

M - середина DB

AM, CM - медианы граней ADB и BDC

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.

AE/EM = CF/FM = 2:1

Если прямые (EF и AC) пересекают две другие прямые и отсекают на них пропорциональные отрезки, то такие прямые параллельны.

ME/MF=EA/FC => EF||AC (по обратной т о пропорциональных отрезках)

Прямая EF параллельна прямой в плоскости (EF||AC), следовательно параллельна самой плоскости, EF||(ABC).

Answer 3

Для доведення того, що пряма EF паралельна площині ABC, давайте розглянемо спочатку медіани грані DABC тетраедра DABC, які перетинаються в точці Е, і медіани грані BDC, які перетинаються в точці F.

Спочатку розглянемо медіани грані DABC. Медіана грані - це вектор, який сполучає вершину грані з серединою протилежної сторони. Оскільки медіани грані DABC перетинаються в точці Е, то це означає, що точка Е є центром мас грані DABC. Тобто, масовий центр грані DABC розташований в точці Е.

Тепер розглянемо медіани грані BDC. Знову ж таки, медіани грані BDC - це вектори, які сполучають вершину грані з серединою протилежної сторони. Оскільки медіани грані BDC перетинаються в точці F, то це означає, що точка F є центром мас грані BDC.

Тепер, оскільки точка Е є центром мас грані DABC, і точка F є центром мас грані BDC, то пряма EF - це лінія, яка сполучає ці дві точки. Лінія, яка сполучає центри мас двох різних граней, завжди паралельна площині, яка проходить через ці грані.

Отже, ми довели, що пряма EF паралельна площині ABC. Бажаю успіхів у навчанні!