Question

В чотирикутник АВСD можна вписати коло, АВ = 6 см, АD = 7 см, СD = 9 см. Знайти довжину ВС

Answer 1

В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, тобто AB+CD=BC+AD. 6+9=17 (АВ+CD), х+7=17 (BC+AD), отже ВС=17-7=10 см.

Answer 2

Щоб знайти довжину сторони ВС чотирикутника ABCD, давайте скористаємося властивістю, що вписаний чотирикутник може бути описаний навколо кола. В цьому випадку, коло описане навколо чотирикутника ABCD буде касатися сторін у точках В, С, і D.

Позначимо довжину ВС як x. За теоремою про касаючу до кола, відстань від центру кола до точки дотику дорівнює радіусу кола. Також, радіус кола є перпендикуляром до хорди кола, який його ділить навпіл.

З трикутника ВСМ, де М - середина сторони ВД, можна скористатися теоремою Піфагора:

$BM^2 + MC^2 = BC^2$

Оскільки BM і MC є половинами ВD та BC відповідно:

$\left(\frac{BC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2 = BC^2$

Підставимо відомі значення:

$\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = x^2$

Розв'яжемо це рівняння для x:

$\frac{x^2}{4} + \frac{49}{4} = x^2$

$49 = \frac{3x^2}{4}$

$x^2 = \frac{196}{3}$

$x = \sqrt{\frac{196}{3}}$

$x = \frac{2\sqrt{147}}{3}$

Отже, довжина ВС дорівнює $\frac{2\sqrt{147}}{3}$ см.