Question

Точка Р віддалена від усіх сторін правильного трикутника АВС на 2 корінь 3см.Знайдіть кут між площами АВС і ВСР якщо сторона трикутника дорівнює 6см.Допоможіть будь ласка

Answer 1

Точка P равноудалена от сторон ABC, следовательно ее проекция O также равноудалена от сторон ABC и является центром его вписанной окружности.

OK - радиус вписанной окружности ABC.

В правильном треугольнике он равен 1/3 высоты.

(высоты/медианы/биссектрисы совпадают, медианы делятся точкой O в отношении 2:1)

AK =AC sin60 =6*√3/2 =3√3

OK =AK/3 =√3

OK⊥BC, PO⊥(ABC) => PK⊥BC (т о трех перпендикулярах)

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой.

∠(ABCP) =∠(OK,PK) =∠OKP

cos(OKP) =OK/PK =√3/2√3 =1/2 => ∠OKP =arccos(1/2) =60° ( <90°)

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію. Ми маємо правильний трикутник ABC зі стороною довжиною 6 см і точку P, яка віддалена на 2√3 см від усіх сторін трикутника. Ми хочемо знайти кут між площами трикутників ABC і BCP.

Спершу ми знайдемо площу трикутника ABC. Для правильного трикутника площа може бути обчислена за формулою:

Площа ABC = (сторона^2 * √3) / 4

Підставимо значення сторони (6 см):

Площа ABC = (6^2 * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3 кв. см

Тепер нам потрібно знайти площу трикутника BCP. Враховуючи, що точка P віддалена на 2√3 см від сторін трикутника, ми можемо побудувати трикутник BCP так, що він буде правильним трикутником і матиме сторону довжиною 2√3 см.

Площа BCP = (сторона^2 * √3) / 4 = ( (2√3)^2 * √3 ) / 4 = (12 * √3) / 4 = 3√3 кв. см

Тепер ми маємо площі обох трикутників. Щоб знайти кут між площами трикутників ABC і BCP, можна використовувати наступну формулу:

Кут між площами = arctan(Площа BCP / Площа ABC)

Кут між площами = arctan((3√3) / (9√3)) = arctan(1/3)

Вираз arctan(1/3) в радіанах приблизно дорівнює 0,321 радіанів або приблизно 18,43 градуси.

Отже, кут між площами трикутників ABC і BCP приблизно дорівнює 18,43 градусів.