Question

У трикутник ABC вписано коло з центром О. Через точку О до площини трикутника проведено перпендикуляр FO. Точка F віддалена від сторони трикутника АВ на 5 см. Знайдуть довжину вiдрiзка FO, якщо AB=15 см, АС=12 см, BC=9 см.

Answer 1

Ответ:

FO = 4 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС, АВ = 15 см, АС = 12 см, ВС = 9 см;

О - центр вписанной в ΔАВС окружности.

FO⊥(АВС);  d(F; AB) = 5 см.

Найти: FO.

Решение:

Проверим, не является ли ΔАВС прямоугольным:

15² = 12² + 9²

225 = 144 + 81

225 = 225 - верно, значит по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔАВС прямоугольный с гипотенузой АВ.

Проведем ОН⊥АВ. ОН - радиус окружности, вписанной в треугольник.

ОН - проекция наклонной FH на плоскость (АВС), значит

FH⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

FH - расстояние от точки F до прямой АВ.

FH = 5 см.

• Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен разности полупериметра и гипотенузы:
• r = p - c

$r=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-AB=\dfrac{15+12+9}{2}-15=18-15=3$

ОН = r = 3 см

Из прямоугольного треугольника FOH по теореме Пифагора:

$FO=\sqrt{FH^2-OH^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

FO = 4 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися властивостями вписаного кола та відомими величинами сторін трикутника.

1. Знаємо, що радіус вписаного кола трикутника дорівнює півсумі довжини сторін трикутника та півпериметру трикутника і виражається так:

   $r = \frac{AB + AC + BC}{2}$

   Підставляючи дані, отримуємо:

   $r = \frac{15 + 12 + 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\, см$

2. Знаємо, що точка перетину радіусу кола з дотичною до кола є точкою дотику цієї дотичної до кола. Тобто, точка F є точкою дотику відстані FO до центра кола, і FO є радіусом кола.

3. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику AFO можемо знайти FO:

   $FO^2 = AF^2 + AO^2$

   Тут AF = 5 см, а AO = r = 18 см.

   $FO^2 = 5^2 + 18^2$ $FO^2 = 25 + 324$ $FO^2 = 349$

   Тепер виймемо квадратний корінь:

   $FO = \sqrt{349}$ $FO \approx 18.68$ см (округлюючи до двох знаків після коми)

Отже, довжина відрізка FO приблизно дорівнює 18.68 см.