Question

Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма

Answer 1

Ответ:

1) в параллелограмме противоположные стороны и углы рравны

2) в параллелограмме противоположные стороны попарно рравны

3) в параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам

Объяснение

Доказательства смотри на фотографии

Answer 2

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Давайте сформулируем и докажем несколько утверждений о признаках параллелограмма.

Утверждение 1: Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Доказательство: Пусть ABCD - параллелограмм, то есть AB || CD и BC || AD. Предположим, что это не так, и, например, AB не параллельна CD. Тогда существует точка E на отрезке CD такая, что AE не параллельна BC. Теперь у нас есть два треугольника: ABE и CDE. Внутри треугольника ABE, AB и AE параллельны (по определению параллелограмма), и теперь мы добавили еще одну пару параллельных линий AE и CD, что делает два треугольника подобными. Однако это приводит к противоречию, так как треугольники ABE и CDE имеют разные размеры (AB ≠ CD), но при этом должны быть подобными. Следовательно, исходное предположение о том, что AB не параллельна CD, неверно. Точно так же можно доказать и параллельность BC и AD.

Утверждение 2: Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.

Доказательство: Пусть ABCD - параллелограмм. Тогда по утверждению 1 стороны AB и CD параллельны. Рассмотрим два треугольника: ABD и BCD. Внутри треугольника ABD, AB и BD параллельны (по определению параллелограмма), и по построению AD = DC (они обе равны BD, так как это стороны одного и того же параллелограмма). Теперь у нас есть два треугольника с параллельными сторонами и двумя равными сторонами (AB и BD), поэтому эти треугольники равны по сторонам. Это означает, что AD = BC.

Утверждение 3: Противоположные углы параллелограмма равны.

Доказательство: Пусть ABCD - параллелограмм. Рассмотрим два треугольника: ABD и BCD. Из утверждения 1 следует, что углы ABD и BCD смежные и соответственно равны между собой (по свойству параллельных прямых). Аналогично, углы ABC и CDA также равны между собой. Таким образом, у параллелограмма противоположные углы равны.

Утверждение 4: Диагонали параллелограмма делят его на два равных по площади треугольника.

Доказательство: Пусть ABCD - параллелограмм, а его диагона