Question

2.  Висота, проведена з вершини прямокутного трикутника до гіпотенузи, дорівнює четвертині гіпотенузи. Знайти гострі кути цього трикутника.Зробити малюнок.

Answer 1

Ответ:

Для знаходження гострих кутів прямокутного трикутника, ми можемо скористатися тригонометричними співвідношеннями. В даному випадку, знаючи, що висота проведена з вершини до гіпотенузи дорівнює четвертині гіпотенузи, ми можемо побудувати прямокутний трикутник і використати тригонометрію для обчислення кутів.

Позначимо висоту як h, а гіпотенузу - як c. За умовою задачі, ми знаємо, що h = c/4.

Ми також знаємо основну тригонометричну співвідношення для прямокутного трикутника:

sin(θ) = протилежна сторона / гіпотенуза

cos(θ) = прилегла сторона / гіпотенуза

tan(θ) = протилежна сторона / прилегла сторона

У нашому випадку, протилежна сторона - це висота h, прилегла сторона - це катет трикутника, а гіпотенуза - це c.

За даними співвідношеннями, ми можемо отримати наступні вирази:

sin(θ) = h / c

cos(θ) = (c - h) / c

tan(θ) = h / (c - h)

Підставляючи h = c/4, ми отримаємо:

sin(θ) = (c/4) / c = 1/4

cos(θ) = (c - c/4) / c = 3/4

tan(θ) = (c/4) / (c - c/4) = 1/3

Тепер ми можемо використати тригонометричні функції для обчислення кутів.

θ₁ = arcsin(1/4)

θ₂ = arccos(3/4)

θ₃ = arctan(1/3)

Виконуючи обчислення, ми отримаємо значення гострих кутів трикутника.

Також, як було запитано, надамо малюнок для уявлення про цей трикутник:

|

|

h |

|

|____

c/4 c

θ₁ θ₂

Объяснение:

Answer 2

Давайте спочатку позначимо дані:

• Нехай $ABC$ - прямокутний трикутник, де $AB$ - гіпотенуза, $BC$ - одна зі сторін, а $AC$ - інша сторона.
• Нехай $D$ - точка, де відома висота проведена з вершини $A$ до гіпотенузи $AB$.
• Позначимо довжину гіпотенузи $AB$ через $c$.

Згідно з умовою задачі, висота проведена з вершини прямокутного трикутника до гіпотенузи дорівнює четвертині гіпотенузи. Це означає, що $AD = \frac{1}{4}c$.

Для знаходження гострих кутів прямокутного трикутника використовуємо відомий тригонометричний співвідношення для синуса:

$\sin(\angle A) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{гіпотенуза}}$

У нашому випадку протилежна сторона для $\angle A$ - це сторона $CD$, а гіпотенуза - це сторона $AB$. Таким чином, ми можемо записати:

$\sin(\angle A) = \frac{CD}{AB}$

За правилами тригонометрії, $\sin(\angle A) = \sin(90^\circ) = 1$, тому ми отримуємо:

$1 = \frac{CD}{c}$

Тепер ми можемо знайти довжину сторони $CD$:

$CD = c$

Згідно з піфагорівою теоремою для прямокутних трикутників:

$AC^2 + CD^2 = AD^2$

Підставимо відомі значення:

$AC^2 + c^2 = \left(\frac{1}{4}c\right)^2$

$AC^2 + c^2 = \frac{1}{16}c^2$

$AC^2 = \frac{1}{16}c^2 - c^2$

$AC^2 = -\frac{15}{16}c^2$

Так як довжина сторони не може бути від'ємною, то це означає, що цей трикутник не існує. Він є неможливим, оскільки неможливо мати від'ємну довжину сторони.

Отже, задача не має розв'язку, і такий прямокутний трикутник не існує. Малюнок такого трикутника неможливо побудувати.