Question

Сторони трикутника, одна з яких на 2 см більша за іншу, утворюють кут 120°. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина третьої сторони дорівнює 7 см.​

Answer 1

Давайте позначимо довжину коротшої сторони трикутника як "x" см. Отже, довжина довшої сторони буде "x + 2" см.

Ми знаємо, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°. Кут між довшою і коротшою стороною трикутника дорівнює 120°. З цього можна зробити висновок, що кут між коротшою стороною і третьою стороною також дорівнює 180° - 120° = 60°.

Тепер ми можемо використовувати правило косинусів, щоб знайти довжину третьої сторони:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$

де "c" - довжина третьої сторони (7 см), "a" - довжина коротшої сторони (x см), "b" - довжина довшої сторони (x + 2 см), "C" - кут між коротшою стороною і третьою стороною (60°).

Підставимо відомі значення і розв'яжемо рівняння:

$7^2 = x^2 + (x + 2)^2 - 2x(x + 2) \cdot \cos(60°)$

$49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) - 2x(x + 2) \cdot \frac{1}{2}$

$49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 - x(x + 2)$

$49 = 2x^2 + 4x + 4 - x^2 - 2x$

$49 = x^2 + 2x + 4$

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння:

$x^2 + 2x + 4 - 49 = 0$

$x^2 + 2x - 45 = 0$

Тепер розв'яжемо це рівняння за допомогою квадратного кореня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

де a = 1, b = 2, c = -45.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-45)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 180}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{184}}{2}$

Тепер розглянемо два варіанти для x:

1. $x = \frac{-2 + \sqrt{184}}{2}$
2. $x = \frac{-2 - \sqrt{184}}{2}$

Розрахуємо обидва варіанти:

1. $x = \frac{-2 + \sqrt{184}}{2} \approx 6.83$ см
2. $x = \frac{-2 - \sqrt{184}}{2} \approx -8.83$ см

Довжина сторони не може бути від'ємною, тому відкинемо другий варіант.

Отже, коротша сторона трикутника дорівнює приблизно 6.83 см, а довша сторона дорівнює 6.83 + 2 = 8.83 см.

Тепер знайдемо периметр трикутника, додавши довжини всіх трьох сторін:

$P = 7 + 6.83 + 8.83$ см $P \approx 22.66$ см

Отже, периметр цього трикутника приблизно дорівнює 22.66 см.