Question

Объясните строго, почему, если два треугольника подобны, то отношение длин их высот, проведённых из соответствующих вершин, равно коэффициенту подобия?

Answer 1

Ответ:

Пусть у нас есть два треугольника: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, притом ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁:

АВ : А₁В₁ = ВС : В₁С₁ = AC : A₁C₁ = k.

В ∆ABC проведена высота ВН к стороне АС, в ∆А₁В₁С₁ — высота В₁Н₁ к стороне А₁С₁

Sabc = 0.5 • AC • BH => ВН = 2 • Sabc ÷ AC

Sa₁b₁c₁ = 0.5 • A₁C₁ • B₁H₁ = B₁H₁ = 2 • Sa₁b₁c₁ ÷ A₁C₁

Найдём отношение ВН : В₁Н₁:

ВН : В₁Н₁ = (2 • Sabc ÷ AC) ÷ (2 • Sa₁b₁c₁ ÷ A₁C₁) =

= Sabcd • A₁C₁ ÷ (Sa₁b₁c₁ • AC).

A₁C₁ : AC = 1 ÷ (AC : A₁C₁) = 1 ÷ k.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е. Sabc : Sa₁b₁c₁ = k².

Таким образом,

ВН : В₁Н₁ = k² • (1 ÷ k) = k,

то есть отношение длин высот, проведённых из соответствующих вершин подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.

Answer 2

Пусть у нас есть два треугольника, которые подобны друг другу, и мы хотим доказать, что отношение длин их высот, проведенных из соответствующих вершин, равно коэффициенту подобия. Давайте обозначим эти треугольники как Т1 и Т2, и их коэффициент подобия как "k".

Подобие треугольников означает, что соответствующие углы в них равны, и соответствующие стороны пропорциональны. Это можно записать следующим образом:

1. Пусть "h1" и "h2" - высоты, проведенные из соответствующих вершин треугольников Т1 и Т2 соответственно.
2. Пусть "a1" и "a2" - основания этих высот в Т1 и Т2 соответственно.
3. Также, "b1" и "b2" - стороны треугольников Т1 и Т2, соответственно.

Тогда, мы можем записать следующие пропорции:

Для Т1: h1 / a1 = k (по определению подобия треугольников)

Для Т2: h2 / a2 = k (по определению подобия треугольников)

Теперь, чтобы доказать, что отношение длин высот равно коэффициенту подобия (k), мы можем разделить одно уравнение на другое:

(h1 / a1) / (h2 / a2) = k / k

Сокращая k / k (что равно 1), у нас остается:

(h1 / a1) / (h2 / a2) = 1

Мы знаем, что h1 / a1 и h2 / a2 равны k (по определению подобия треугольников), поэтому:

k / k = 1

Следовательно, отношение длин высот, проведенных из соответствующих вершин треугольников Т1 и Т2, равно коэффициенту подобия k.