Question

в прямоугольнике ABCd на сторонах AB и Cd отмечены точки M и N так, что AM:MB=1:3, CN:ND=2:5. найдите отношение площадей четырехугольников AMND и MBCN.

Answer 1

Сторона АВ точкой М разбивается на два отрезка, причем АМ:МВ=1:3, т.е АВ состоит из 4 равных частей. Пусть одна часть равна х см, то АВ=4х

Сторона CD разбивается на отрезки CN:ND=2:5, т.е CD состоит из 7 равных частей. Пусть такая одна чпсть равна у см. Зная, что АВ=CD, имеем 4х=7у, у=$\frac{4}{7}x$ 

Отрезок MN разбивает прямоугольник на две прямоугольные трапеции с равными высотами h.

$\frac{S_{AMND}}{S_{MBCN}}=\frac{\frac{x+5y}{2}*h}{\frac{3x+2y}{2}*h}=\frac{x+5y}{3x+2y}$=$\frac{x+\frac{20}{7}x}{3x+\frac{8}{7}x}=\frac{27}{29}$ 

Answer 2

Площади трапеций

S1 = AB(1/4 + 5/7)*BC/2

S2 = AB(3/4+2/7)*BC/2

S1/S2 = (7+20)/(21+8) = 27/29

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем, что отношение площадей двух треугольников равно отношению произведений их баз и высот.

Давайте обозначим длину стороны AB как a, а стороны CD как b. Теперь давайте найдем длины отрезков AM, MB, CN и ND.

По условию:

AM : MB = 1 : 3

Это означает, что AM составляет 1/4 от общей длины отрезка AB, и MB составляет 3/4 от длины AB. Таким образом, AM = (1/4)a и MB = (3/4)a.

CN : ND = 2 : 5

Аналогично, это означает, что CN составляет 2/7 от общей длины отрезка CD, и ND составляет 5/7 от длины CD. Таким образом, CN = (2/7)b и ND = (5/7)b.

Теперь мы можем найти отношение площадей четырехугольников AMND и MBCN, обозначив их S1 и S2 соответственно.

S1/S2 = (площадь AMND) / (площадь MBCN)

S1/S2 = (1/2) * (AM * ND) / (1/2) * (MB * CN)

S1/S2 = (AM * ND) / (MB * CN)

S1/S2 = ((1/4)a * (5/7)b) / ((3/4)a * (2/7)b)

S1/S2 = (1/4) * (5/7) / ((3/4) * (2/7))

S1/S2 = (5/7) / (6/28)

S1/S2 = (5/7) / (3/14)

Теперь давайте упростим это отношение:

S1/S2 = (5/7) * (14/3)

S1/S2 = 70/21

Теперь мы можем упростить это отношение:

S1/S2 = 10/3

Итак, отношение площадей четырехугольников AMND и MBCN равно 10/3.