Question

В равностороннем треугольнике сумма всех биссектрис равна 33√3. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

В равностороннем треугольнике биссектрисы равны, значит, величина одной из них равна 11√3.
Кроме того, в равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. Известно, что отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне равно √3/2. Значит, сторона треугольника равна 11√3*(2/√3)=22. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то есть, 1/2*22*11√3=121√3.

Answer 2

Для нахождения площади равностороннего треугольника, нам сначала нужно найти его сторону.

Пусть "a" будет длиной стороны треугольника. Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны "a".

Биссектриса каждого угла треугольника делит соответствующий угол пополам и пересекается с противоположной стороной треугольника. Поскольку у нас равносторонний треугольник, то все биссектрисы также равны между собой.

Пусть "b" будет длиной биссектрисы. Тогда у нас есть три биссектрисы, и их сумма равна 33√3:

3b = 33√3

Теперь найдем длину одной биссектрисы:

b = (33√3)/3 = 11√3

Так как биссектриса делит угол пополам и создает два равнобедренных треугольника, то мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину половины основания равнобедренного треугольника:

(c/2)^2 = a^2 - b^2 (c/2)^2 = a^2 - (11√3)^2 c^2/4 = a^2 - 363 c^2 = 4a^2 - 1452

Так как у нас равносторонний треугольник, то основание равнобедренных треугольников равно "a". Таким образом, мы можем записать:

c^2 = 4a^2 - 1452 c^2 = 4a^2 - 4a^2 c^2 = 0

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

a = a b = 11√3 c = 0

Так как одна из сторон равна нулю, это означает, что треугольник вырожденный и не имеет площади.