Question

В пространстве дано плоскость α и две точки А и В. Найдите геометрическое место точек P плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы.

Answer 1

Геометрическим местом точек Р на плоскости, для которых наклонные АР, опущенные на плоскость из точки А, образуют одинаковые углы, является окружность с центром в точке Н основания перпендикуляра АН, опущенного из этой точки на плоскость. В этом случае для любой точки Р тангенс угла наклона АР к плоскости есть величина постоянная и равна отношению АН/НР, где АН - высота точки А над плоскостью, а НР - радиус окружности с центром в точке Н.  То же самое можно сказать и о геометрическом месте таких точек Р для точки В. Точка Р должна одновременно принадлежать и окружности с центром Н, и окружности с центром К, где К - основание перпендикуляра ВК.
Следовательно, геометрическим местом точек P плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, являются точки пересечения двух окружностей с центрами в точках Н и К, для радиусов которых выполняется условие: r/R = BK/AH. Только в этом случае углы наклона прямых ВК и АН к плоскости α будут равны, так как прямоугольные треугольники ВКР и АНР тогда будут подобны по двум катетам.
Чтобы найти искомое геометрическое место, надо решить систему из двух уравнений окружностей:
(X-Xb)²+(Y-Yb)²=r² (1) и (Х-Ха)²+(Y-Ya)²=R² (2).  Решением и будут координаты искомых точек пересечения.
Поместим начало координат в одну из точек: К или Н, например, в точку К. Тогда имеем К(0;0)
Итак, дано: точки А(Хa;Ya) и В(0;Yb), их расстояние от плоскости α H(0;Ya ) и h(0;Yb), расстояние между точками Н(Ха;0) и К(0;0), равное  сумме радиусов R(Xa-Xb) и r(Xb), то есть равное L(Xa) и, наконец, самое важное - коэффициент пропорциональности t, при котором только и будет все работать, равный отношению высот Н и h, а именно: t=Ya/Yb = R/r. Тогда R = r*t.
Напишем уравнения (1) и (2), подставив в них известные нам значения:
X²+Y²=r² (1)
(X-L)²+Y² = r²*t² (2). Решаем методом подстановки. Y²=r²-X².
Тогда (2) примет вид: X²-2LX+L²+r²-X² - r²*t² = 0, или
2LX=L²-r²*(t²-1), откуда
Х = (L²-r²*(t²-1))/2L.
Y = √{r² - [(L²-r²*(t²-1))/2L]².
Ответ: геометрическое место точек P(X;Y) плоскости α , для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, имеет координаты
Х = (L²-r²*(t²-1))/2L.
Y = √{r² - [(L²-r²*(t²-1))/2L]².
Построим эту кривую по точкам, когда, например, t=2, L=6 и, следовательно, начальное значение r = 2, так как при r<2 окружности общих точек не имеют.
r =2, X=2, Y=0.
r =3, X=0,75, Y=±2,9.
r =4, X=-1, Y=±3,86.
r =5, X=-3,25, Y=±3,8.
r =6, X=-6, Y=0.
r =7, X=-9,25, Y - значения не имеет (иррациональное число).
Значит при r >L окружности общих точек не имеют, следовательно, наше геометрическое место точек P - замкнутая кривая при области определения L/(t+1)=<r<=L.
Рисунок приложен.

Answer 2

Для того чтобы найти геометрическое место точек P в плоскости α, для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы, давайте воспользуемся следующими свойствами:

1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между её направляющим вектором и нормалью плоскости.
2. Если две прямые образуют равные углы с плоскостью α, то их направляющие векторы должны иметь равные проекции на нормаль плоскости α.

Пусть вектор n - нормаль плоскости α. Тогда у нас есть два вектора, которые определяют направления прямых AP и BP:

1. Вектор AP: P - A.
2. Вектор BP: P - B.

Угол между вектором и нормалью можно выразить через их скалярное произведение. Таким образом, мы имеем следующее условие:

cos(угол между AP и α) = (AP * n) / (|AP| * |n|) = cos(угол между BP и α) = (BP * n) / (|BP| * |n|).

Теперь мы знаем, что проекции векторов AP и BP на нормаль плоскости α должны быть равными:

(AP * n) / (|AP| * |n|) = (BP * n) / (|BP| * |n|).

Мы можем упростить это условие, разделив обе стороны на |n|:

(AP * n) / |AP| = (BP * n) / |BP|.

Теперь, если мы выразим AP и BP через координаты точек P, A и B, мы получим уравнение геометрического места точек P:

(P - A) * n / |P - A| = (P - B) * n / |P - B|.

Это уравнение определяет геометрическое место точек P, для которых прямые AP и BP образуют с плоскостью α равные углы.