Question

1.Даны три точки с координатами: F(8; 1; 0), E(0; 0; 4), K(0; 5; 1). а) Постройте их в декартовой системе координат. б) Укажите, в каких координатных плоскостях или на каких координатных осях они находятся. в) Докажите, что треугольник FKE равнобедренный. г) Вычислите площадь треугольника FKEс точностью до целых. 2.Точка С - середина отрезка РМ. Найдите координаты точки Р, если М(5;-8;14), С(-7;-2;3). 3. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(3;7), В(2;-5).

Answer 1

1в) Докажите, что треугольник FKE равнобедренный.
Расстояние между точками:
d = √ ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²) 
FE = 9.000
EK =  √ 34  =  5.830952
FK = 9,000.
г) Вычислите площадь треугольника FKEс точностью до целых:
Площадь определяется по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
         a          b   c          p            2p                        S =
5.830952    9   9    11.915    23.83095         24.8243832
cos A = 0.7901235 cos B = 0.3239418 cos С = 0.32394177 Аrad = 0.6597859 Brad = 1.2409034 Сrad = 1.24090336 Аgr = 37.80295 Bgr = 71.098525 Сgr = 71.0985251 sin А = 0.6129477 sin B = 0.946077 sin С = 0.94607702.
2.Точка С - середина отрезка РМ. Найдите координаты точки Р, если М(5;-8;14), С(-7;-2;3).
Xc = (Xm+Xp)/2
2Xc = Xm+Xp
Xp = 2Xc -Xm = 2*(-7)-5 = -14 - 5 = -19.
Аналогично Ур = 2*(-2) - (-8) = -4 + 8 = 4.
                      Zp = 2*3 - 14 = 6 - 14 = -8.
3. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(3;7), В(2;-5):
к = Δу / Δх = (-5-7) / (2-3) = -12 / -1 = 12.

Answer 2

1. Решение: а) Построим точки F(8; 1; 0), E(0; 0; 4) и K(0; 5; 1) в декартовой системе координат:

   • F(8; 1; 0) находится в плоскости XY, на расстоянии 8 единиц по оси X и 1 единицу по оси Y от начала координат.

   • E(0; 0; 4) лежит на оси Z и находится на расстоянии 4 единицы от начала координат.

   • K(0; 5; 1) лежит в плоскости YZ, на расстоянии 5 единиц по оси Y и 1 единицу по оси Z от начала координат.

   

   б) Теперь укажем, в каких координатных плоскостях или на каких координатных осях находятся точки:

   • F(8; 1; 0) лежит в плоскости XY.
   • E(0; 0; 4) лежит на положительной полуоси Z.
   • K(0; 5; 1) лежит в плоскости YZ.

   в) Чтобы доказать, что треугольник FKE равнобедренный, нам нужно убедиться, что длины его сторон совпадают. Для этого вычислим длины сторон:

   • Длина стороны FK: $\sqrt{(8-0)^2 + (1-5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9$.
   • Длина стороны KE: $\sqrt{(0-0)^2 + (5-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34}$.
   • Длина стороны EF: $\sqrt{(0-8)^2 + (0-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{64 + 1 + 16} = \sqrt{81} = 9$.

   Мы видим, что длины сторон FK и EF равны 9, а длина стороны KE равна $\sqrt{34}$, которая не равна 9. Таким образом, треугольник FKE не является равнобедренным.

   г) Вычислим площадь треугольника FKE с использованием формулы Герона, применяя длины сторон, которые мы вычислили:

   Полупериметр $s = \frac{9 + 9 + \sqrt{34}}{2} = \frac{18 + \sqrt{34}}{2}$.

   Теперь используем формулу Герона для площади треугольника:

   Площадь $S = \sqrt{s(s-9)(s-9)(s-\sqrt{34})}$.

   Подставим значение $s$:

   $S = \sqrt{\frac{18 + \sqrt{34}}{2} \cdot \frac{9 - \sqrt{34}}{2} \cdot \frac{9 - \sqrt{34}}{2} \cdot \frac{18 - \sqrt{34}}{2}}$.

   $S = \sqrt{\frac{1}{16}(18 + \sqrt{34})(9 - \sqrt{34})(9 - \sqrt{34})(18 - \sqrt{34})}$.

   $S = \sqrt{\frac{1}{16}(18 + \sqrt{34})(9 - \sqrt{34})(18 - \sqrt{34})}$