Question

Даны три точки с координатами F(8,1,0),E(0,0,4),K(0,5,1) 1)постройте их в декартовой системе координат 2)укажите в каких координатных плоскостях или на каких координатных осях они находятся 3)докажите что треугольник FKE равнобедренный 4)вычислите площадь треугольника FKE

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

1. Для построения точек F(8,1,0), E(0,0,4) и K(0,5,1) в декартовой системе координат можно использовать трехмерный график.

2. Точка F(8,1,0) находится на оси X, точка E(0,0,4) находится на плоскости XY, а точка K(0,5,1) находится на плоскости YZ.

3. Для доказательства, что треугольник FKE равнобедренный, нужно убедиться, что длины двух сторон треугольника равны. Найдем длины сторон:

• Сторона FK: FK = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) = √((0 - 8)² + (5 - 1)² + (1 - 0)²) = √((-8)² + 4² + 1²) = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9.
• Сторона FE: FE = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) = √((0 - 8)² + (0 - 1)² + (4 - 0)²) = √((-8)² + (-1)² + 4²) = √(64 + 1 + 16) = √81 = 9.

Обе стороны FK и FE равны 9, следовательно, треугольник FKE является равнобедренным.

4. Для вычисления площади треугольника FKE можно использовать формулу Герона. Для этого нужно знать длины всех трех сторон треугольника.

Мы уже вычислили длины сторон FK и FE, а также можно вычислить длину стороны KE:

• Сторона KE: KE = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) = √((0 - 0)² + (5 - 0)² + (1 - 4)²) = √(0 + 25 + (-3)²) = √(25 + 9) = √34.

Теперь, используя формулу Герона, площадь треугольника FKE можно вычислить:

S = √(p(p - FK)(p - FE)(p - KE))

где p - полупериметр треугольника, равный (FK + FE + KE) / 2.

p = (9 + 9 + √34) / 2 = (18 + √34) / 2 = 9 + 0.5√34.

Теперь вычислим площадь S:

S = √((9 + 0.5√34)(9 + 0.5√34 - 9)(9 + 0.5√34 - 9)(9 + 0.5√34 - √34)) = √((9 + 0.5√34)(0.5√34)(0.5√34)(9 - 0.5√34)) = √(0.5² * 34 * 34 * 9) = √(0.25 * 34 * 34 * 9) = √(0.25 * 1156 * 9) = √(289 * 9) = √2601 = 51.

Таким образом, площадь треугольника FKE равна 51.