Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см,найдите расстояние от точки пересечения медиан до центра вписанной окружности.

Answer 1

Поместим начало координат в вершину прямого угла, ось OX направим вдоль катета длиной 8, а ось OY - вдоль катета длиной 6. Тогда конец медианы, выходящей из прямого угла, имеет координаты (4,3), а значит точка пересечения медиан имеет координаты (8/3, 2), т.к. она находится на расстоянии 2/3 длины медианы от начала координат.
Радиус вписанной окружности равен (6+8-10)/2=2. Значит центр вписанной окружности имеет координаты (2,2). Значит искомое расстояние равно 8/3-2=2/3.

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до центра вписанной окружности, мы можем воспользоваться следующей формулой:

$d = \frac{2}{3} \cdot h_m$

где $d$ - расстояние от точки пересечения медиан до центра вписанной окружности, а $h_m$ - длина высоты треугольника, проведенной из точки пересечения медиан.

Для начала, найдем длину высоты, проведенной из точки пересечения медиан. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. Таким образом, длина медианы, исходящей из точки пересечения медиан, равна половине длины медианы, проведенной из вершины прямого угла треугольника.

Половина длины медианы из вершины прямого угла это:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{6^2 + 8^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36 + 64} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$

Теперь, используя формулу, мы можем найти расстояние $d$:

$d = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$ см.

Итак, расстояние от точки пересечения медиан до центра вписанной окружности равно $\frac{10}{3}$ см.