Question

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна корню из 3. Найдите объём пирамиды, если известно, что все её рёбра равны.

Answer 1

Пусть эта пирамида SАВСД . АПОФЕМА SK ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА АВ. КАЖДОЕ РЕБРО ПРИМЕМ ЗА Х. AS^2 - AK^2= SK^2(теорема пифагора). X^2 - (X/2)^2 = 3. 3X^2 /4 = 3. X^2 = 4 . X=2 .V= 1/3 S осн *  h.... S осн= x^2 = 4.. найдем теперь высоту (можно из треугольника SKO, где O - центр пересечения диагоналей...)KO= 1/2 AD=1 SD=h= 3- 1  (ПОД КОРНЕМ)=2(ПОД КОРНЕМ) ..V= 1/3* 4*корень из 2

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды с известной апофемой (радиусом вписанной окружности в основании) и известной длиной ребра, можно использовать следующую формулу:

V = (1/3) * A * h

где: V - объем пирамиды, A - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

В данном случае, у нас есть апофема (r) и длина ребра (a), и мы хотим найти объем.

Сначала найдем площадь основания (A) пирамиды. Правильная четырехугольная пирамида считается такой, у которой основание - квадрат. Площадь квадрата можно найти по формуле:

A = a^2

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора. Апофема (r) является радиусом вписанной окружности в основании пирамиды, и она делит пирамиду на четыре равнобедренных треугольника. Половина диагонали основания пирамиды (d) будет гипотенузой такого треугольника, а r - радиусом вписанной окружности (катетом). Таким образом:

d^2 = (2r)^2 + a^2 d^2 = 4r^2 + a^2

Теперь найдем высоту (h) с использованием пифагоровой теоремы:

h^2 = d^2 - (a/2)^2 h^2 = (4r^2 + a^2) - (a/2)^2 h^2 = 4r^2 + a^2 - a^2/4 h^2 = 4r^2 + 3a^2/4

Так как у нас дано значение апофемы (r) равное корню из 3, мы можем заменить r в уравнении:

h^2 = 4*(√3)^2 + 3a^2/4 h^2 = 4*3 + 3a^2/4 h^2 = 12 + 3a^2/4

Теперь, когда мы знаем высоту (h) и площадь основания (A), мы можем найти объем (V) пирамиды:

V = (1/3) * A * h V = (1/3) * (a^2) * (√(12 + 3a^2/4))

Теперь у нас есть формула для объема пирамиды в зависимости от длины ребра (a). Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти объем пирамиды, когда известно, что все её рёбра равны.