Question

Диагонали трапеции делят углы,прилежащие к большему основанию, пополам. Периметр трапеции равен 36 , а ее средняя линия равна 11,7 . Вычислить длину большей стороны трапеции

Answer 1

АВСD - трапеция (AD - большее основание, ВС - меньшее основание)
АС и BD - диагонали трапеции, О - точка пересечения диагоналей.
Средняя линия l = (AD+BC)/2=11,7
                                 AD+BC=23,4
Периметр Р=AD+BC+AB+CD=36
                          AB+CD=36-(AD+BC)=36-23,4=12,6
Рассмотрим ΔАОD и ΔВОС. Они подобны по трём углам (угол ВОС=АОD как вертикальные, OAD=BCO и CBO=ODA как накрест лежащие), следовательно можно составить отношения:
$\frac{BC}{AD}=\frac{CO}{OA} = \frac{BO}{OD}$
В ΔABD АО - биссектриса. Используя свойство биссектрис, получим:
$\frac{AB}{AD}= \frac{BO}{OD}$ 
В ΔACD DO - биссектриса, тогда  $\frac{CD}{AD}= \frac{CO}{OA}$
Но $\frac{CO}{OA} = \frac{BO}{OD}$, значит и  $\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{AD}$ и AB=CD. Но AB+CD=12,6, следовательно AB=CD=6,3
Рассмотрим ΔABC. У него угол BAC=BCA, а значит треугольник равнобедренный и АВ=ВС=6,3
Т.к. AD+BC=23,4, тогда AD= 23,4-ВС=23,4-6,3=17,1
Ответ: 17,1

Answer 2

Давайте обозначим стороны трапеции следующим образом:

AB - меньшее основание CD - большее основание BC - боковая сторона AD - боковая сторона M - точка пересечения диагоналей (средняя линия)

Так как диагонали делят углы при большем основании пополам, то это означает, что AM и MD равны.

Поскольку средняя линия M делит большее основание CD пополам, то MC = MD = 0.5 * CD.

Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника: ADM и DMC.

Мы знаем, что периметр трапеции равен 36, а это означает, что сумма всех её сторон равна 36:

AD + BC + AB + CD = 36

Также нам дано, что средняя линия M равна 11.7:

MC = 11.7

Теперь мы можем использовать равнобедренность треугольников ADM и DMC для нахождения длин сторон. Поскольку AM = MD и MC = 0.5 * CD, мы можем записать:

AD = 2 * AM DM = MC = 0.5 * CD

Теперь мы можем выразить AM и CD через MC:

AM = MC / 2 CD = 2 * MC

Теперь мы можем переписать уравнение для периметра:

AD + BC + AB + CD = 36

2 * AM + BC + AB + 2 * MC = 36

Теперь подставим выражения для AM и CD:

2 * (MC / 2) + BC + AB + 2 * MC = 36

MC + BC + AB + 2 * MC = 36

3 * MC + BC + AB = 36

Теперь мы знаем, что MC = 11.7, поэтому подставим это значение:

3 * 11.7 + BC + AB = 36

35.1 + BC + AB = 36

Теперь выразим AB через BC:

AB = 36 - 35.1 - BC

AB = 0.9 - BC

Теперь мы можем использовать тот факт, что сумма всех сторон равна 36:

AD + BC + AB + CD = 36

AD + BC + (0.9 - BC) + CD = 36

AD + 0.9 + CD = 36

Теперь подставим выражение для CD (CD = 2 * MC):

AD + 0.9 + 2 * MC = 36

Теперь мы знаем, что MC = 11.7, поэтому подставим это значение:

AD + 0.9 + 2 * 11.7 = 36

AD + 0.9 + 23.4 = 36

AD + 24.3 = 36

Теперь выразим AD:

AD = 36 - 24.3

AD = 11.7

Таким образом, длина меньшей стороны трапеции AB равна 11.7.

Теперь мы можем найти длину большей стороны CD, используя сумму всех сторон:

AD + BC + AB + CD = 36

11.7 + BC + 11.7 + CD = 36

23.4 + BC + CD = 36

Теперь мы знаем, что CD = 2 * MC = 2 * 11.7 = 23.4, поэтому:

BC + 23.4 = 36

Теперь выразим BC:

BC = 36 - 23.4

BC = 12.6

Итак, длина большей стороны трапеции CD равна 12.6.