Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла DAB и пересекает диагональ BD в точке K.Найдите BC, если известно,что AK=9,KC=3 и около четырёхугольника ABCD можно описать окружность

Answer 1

∠ВАС = ∠DAC так как АС биссектриса
∠DBC = ∠DAC как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
⇒ ∠ВАС = ∠DBC
ΔВАС подобен ΔКВС по двум углам (∠С - общий, ∠ВАС = ∠КBC) ⇒
АС/ВС = ВС/КС
ВС² = АС · КС = 12 · 3 = 36
ВС = 6

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обратим внимание на то, что если около четырехугольника ABCD можно описать окружность, то это означает, что углы внутри этого четырехугольника должны быть вписанными углами, и углы, описанные над диагоналями, должны быть равными пополам соответствующих центральных углов.

Давайте обозначим угол DAB как α и угол BCD как β.

Так как AC является биссектрисой угла DAB, то мы знаем, что угол CAD также равен α.

Из условия AK = 9 и KC = 3 можно найти длину AC: AC = AK + KC = 9 + 3 = 12.

Теперь, используя теорему синусов в треугольнике ABC, мы можем найти длину стороны BC:

sin(α) = (BC / AC)

Также, учитывая, что угол BCD равен β и что углы в треугольнике BCD в сумме дают 180 градусов, мы можем записать:

α + β = 180°

Теперь у нас есть два уравнения:

1. sin(α) = (BC / AC)
2. α + β = 180°

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала найдем α:

sin(α) = (BC / AC) sin(α) = (BC / 12)

Теперь используем второе уравнение для нахождения β:

α + β = 180° α = 180° - β

Теперь подставим α в первое уравнение:

sin(180° - β) = (BC / 12)

sin(β) = (BC / 12)

Теперь мы имеем уравнение синуса угла β. Мы также знаем, что угол β описанный, так что его мера равна половине меры центрального угла, соответствующего этому дуге на окружности, которую мы можем построить вокруг четырехугольника ABCD.

Поскольку угол β соответствует дуге BKD, мера этой дуги будет равна удвоенной мере угла BCD, то есть 2β.

Теперь мы знаем, что:

sin(β) = (BC / 12)

sin(β) = sin(2β)

Теперь нам нужно найти угол β, при котором синус этого угла равен синусу удвоенного угла. Мы можем воспользоваться тригонометрической формулой для синуса удвоенного угла:

sin(2β) = 2sin(β)cos(β)

Теперь мы имеем:

2sin(β)cos(β) = sin(β)

2cos(β) = 1

cos(β) = 1/2

Теперь найдем угол β:

β = arccos(1/2)

β = 60°

Теперь, когда мы знаем угол β, мы можем использовать уравнение sin(β) = (BC / 12) для нахождения BC:

sin(60°) = (BC / 12)

√3/2 = (BC / 12)

BC = (12 * √3) / 2

BC = 6√3

Итак, длина стороны BC четырехугольника ABCD равна 6√3.