Question

 В треугольниках ABC и A1B1C1, BE и B1E1 биссектрисы, угол B равен углу B1, AE\EC=A1E1\E1C1. Докажите что треугольник ABE подобен треугольнику A1B1E1

Answer 1

По свойству биссектриссы:
AB/BD=AC/DC
A1B1/B1D1=A1C1/D1C1
Так биссектриссы равны и соотношения неизвестных сторон сохраняются то треугольники подобны 

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ABE и A1B1E1, мы должны показать, что их углы равны, а отношения длин соответствующих сторон равны.

У нас уже дано, что угол B равен углу B1.

Давайте обозначим угол ABE как α и угол A1B1E1 как α1.

Из условия биссектрисы, у нас есть следующее соотношение:

AE/EC = A1E1/E1C1

Давайте обозначим AE/EC как m и A1E1/E1C1 как m1.

Теперь нам дано, что m = m1.

Из теоремы биссектрисы:

BE/EC = B1E1/E1C1

Обозначим BE/EC как n и B1E1/E1C1 как n1.

Также, у нас есть следующее соотношение:

m + n = 1 (из условия биссектрисы)

Аналогично, из теоремы биссектрисы:

m1 + n1 = 1

Теперь давайте рассмотрим треугольники ABE и A1B1E1:

Углы: У нас уже есть, что угол B равен углу B1. Угол ABE равен α, а угол A1B1E1 равен α1.

Отношение сторон: Мы знаем, что m = m1 и n = n1.

Таким образом, мы видим, что углы треугольников равны, и отношения длин соответствующих сторон также равны. Следовательно, треугольник ABE подобен треугольнику A1B1E1 по принципу "подобных треугольников".