Question

Около треугольника с углами 45∘ и 60∘ описана окружность радиуса 2√3+√8−2. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Answer 1

Находим третий угол: 180-45-60 = 75°.
Зная  радиус R = 2√3+√8−2 описанной окружности и углы треугольника находим стороны:
а = 2Rsin A = 2*(2√3+√8−2)*sin 45° = 2*(2√3+√8−2)*(√2/2) =
   = 2√6+4-2√2 ≈  6,070552.
b = 2Rsin B = 2*(2√3+√8−2)*sin 60° = 2*(2√3+√8−2)*(√3/2) =
   = 2√6+6-2√3 ≈  7,434878.
c =  2Rsin C = 2*(2√3+√8−2)*sin 75° = 2*(2√3+√8−2)*((1+√3)/(2√2) =
   = (√3+√2-1)*(√2+√6) ≈  8,292529.
По формуле Герона находим площадь треугольника.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Здесь полупериметр р = (а+в+с)/2 =  10,898979.
Подставив данные, находим: S =  21,79795897 кв.ед.
Теперь можно найти искомый радиус вписанной окружности:
r = S/p = 21,79795897/10,898979 = 2.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать следующее свойство треугольника: радиус окружности, вписанной в треугольник, является равным расстоянию от центра этой окружности до одной из сторон треугольника, умноженному на тангенс половины соответствующего угла.

По условию, у нас есть треугольник с углами 45° и 60°. Радиус описанной окружности равен $r_1 = 2\sqrt{3} + \sqrt{8} - 2$. Найдем радиус вписанной в треугольник окружности $r_2$.

Для начала найдем длины сторон треугольника, используя теорему синусов. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$, и $c$, а $R$ - радиус описанной окружности (это уже дано), тогда:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,

где $A$, $B$ и $C$ - углы треугольника.

У нас уже есть два угла, 45° и 60°. Найдем третий угол:

$C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75°$.

Теперь, используя радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3} + \sqrt{8} - 2$, найдем длины сторон треугольника:

$a = 2R \cdot \sin A = 2(2\sqrt{3} + \sqrt{8} - 2) \cdot \sin 45° \approx 2.94$,

$b = 2R \cdot \sin B = 2(2\sqrt{3} + \sqrt{8} - 2) \cdot \sin 60° \approx 3.46$,

$c = 2R \cdot \sin C = 2(2\sqrt{3} + \sqrt{8} - 2) \cdot \sin 75° \approx 3.65$.

Теперь, для нахождения радиуса вписанной окружности $r_2$, воспользуемся формулой:

$r_2 = \frac{\text{площадь треугольника}}{\text{полупериметр треугольника}}$.

Полупериметр треугольника $s = \frac{a + b + c}{2}$,

а площадь треугольника $S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.

Теперь рассчитаем $r_2$:

$s = \frac{2.94 + 3.46 + 3.65}{2} \approx 5.025$,

$S = \sqrt{5.025(5.025 - 2.94)(5.025 - 3.46)(5.025 - 3.65)} \approx 5.22$,

$r_2 = \frac{5.22}{5.025} \approx 1.04$.

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет около $1.04$ единиц.