Question

Образующая конуса в два раза больше его высоты H. Вычислите объем конуса.

Answer 1

Если достроить высоту конуса и его образующую до треугольника (третья сторона - отрезок между основанием высоты и основанием образующей, то есть радиус основания), то он будет прямоугольным. Образующая будет гипотенузой. Раз высота ровно в 2 раза меньше образующей (т.е. гипотенузы), то острый угол этого прямоугольного треугольника при вершине равен 60 градусов. другой катет (радиус основания) будет равен sin(60°) умножить на образующую (её длина 2H):
R = sin(60°)*2H = √3/2 * 2H= √3H
Площадь круга в основании конуса:
S = π*R^2 = π * (√3H)² = 3*π*H²
Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту:
V = 1/3 * S * H = 1/3 * 3*π*H² * H = π*H³

Answer 2

Для вычисления объема конуса нам необходимы два параметра: радиус основания (r) и высота (H). В данной задаче у нас дано, что образующая (l) конуса в два раза больше его высоты (H). Образующая представляет собой отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания.

Давайте обозначим: l - длина образующей H - высота конуса

Теперь у нас есть следующие соотношения:

l = 2H (образующая в два раза больше высоты) r - радиус основания конуса (требуется найти)

Так как l, H и r связаны между собой, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти r.

l^2 = r^2 + H^2

(2H)^2 = r^2 + H^2 4H^2 = r^2 + H^2 r^2 = 3H^2 r = √(3H^2) r = √3H

Теперь, когда у нас есть радиус основания (r), мы можем вычислить объем конуса (V) с помощью следующей формулы:

V = (1/3) * π * r^2 * H

V = (1/3) * π * (√3H)^2 * H V = (1/3) * π * 3H^2 * H V = π * H^3

Таким образом, объем конуса равен π * H^3.