Question

срочно прошу всех ьььььььььььььььььььььььььььььььььььььььььььДоведіть, що бісектриси зовнішнього і внутрішнього кутів трикутника, взяті при одній вершині, перпендикулярні.

Answer 1

Внешний и внутренний угол треугольника образуют развёрнутый угол, который равен 180 Биссектриса - это луч который делит угол пополам. Предположим, что внешний угол равен α градусов, а внутренний β
градусов. α + β = 180. Найдём теперь 1/2 α + 1/2β = 1/2* (α + β) =
= 1/2 * 180 = 90

Answer 2

Дійсно, бісектриси зовнішнього і внутрішнього кутів трикутника, взяті при одній вершині, є перпендикулярними. Давайте доведемо це:

Розглянемо трикутник ABC із вершинами A, B та C. Нехай AD - внутрішня бісектриса кута A, і BE - зовнішня бісектриса кута A (див. малюнок нижче).

mathematicaCopy code
       B
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  /         \
 /___________\
A     D     C
 \           /
  \         /
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       E

Потрібно довести, що AD і BE є перпендикулярними.

Доведення:

1. За означенням бісектриси, куті AD та AE є рівними.
2. Також, за означенням зовнішньої бісектриси, кути ABE та ABD є рівними.
3. З кроків 1 і 2 можна зробити висновок, що кути ABE та ABD є рівними.
4. Розглянемо зовнішній кут ABE. Він складається з двох кутів - кута ABD та кута DBC (або 180° - кут DBC).
5. Оскільки кути ABE та ABD рівні (з кроку 3), кут DBC також дорівнює куту ABD.
6. Оскільки AD є внутрішньою бісектрисою кута ABC, то кути ABC та ABD рівні.
7. З кроків 5 і 6 можна зробити висновок, що кути DBC та ABC рівні.
8. Але ABC та DBC - це зовнішні та внутрішні кути трикутника з вершини B, тому вони доповнюють один одного до 180°.
9. З кроків 7 і 8 можна зробити висновок, що кут DBC дорівнює 90° (зовнішня бісектриса кута B є перпендикуляром до протилежної сторони).
10. Таким чином, бісектриси AD та BE дійсно є перпендикулярними одна до одної.

Отже, бісектриси зовнішнього і внутрішнього кутів трикутника, взяті при одній вершині, є перпендикулярними.