Question

В треугольнике авс угол А=80 угол В=50 а) докажите что треугольник авс равнобедренный ии укажите его боковые стороны б) СК биссектриса данного треугольника. найдите углы которые она образует со стороной АВ

Answer 1

A)∠C= 180-(80+50) =50
∠C=∠B, соответственно, Δ равнобедренный
б) ∠KCB = 25, т.к. CK делит ∠C пополам
∠CKB= 180 - (50+25)= 105
∠AKC=180-(80+25)=75

Answer 2

Для доказательства, что треугольник АВС является равнобедренным, нужно показать, что у него две равные стороны. Из условия известно, что угол А равен 80°, а угол В равен 50°.

а) Докажем равенство сторон АС и ВС.

Допустим, это не так, и АС ≠ ВС.

Тогда возможны два случая:

1. АС > ВС:

   Тогда по теореме углового неравенства для треугольников: Угол между сторонами АС и ВС больше угла между сторонами ВС и СА.

   Но у нас угол А равен 80°, что противоречит этому утверждению, так как угол между сторонами ВС и СА равен углу А и также равен 80°.

2. АС < ВС:

   Аналогично, по теореме углового неравенства, угол между сторонами ВС и СА больше угла между сторонами АС и ВС.

   Но у нас угол В равен 50°, что противоречит этому утверждению, так как угол между сторонами АС и ВС равен углу В и также равен 50°.

Таким образом, наше предположение о том, что АС ≠ ВС, неверно. Следовательно, стороны АС и ВС равны, и треугольник АВС является равнобедренным.

Из равенства сторон АС и ВС следует, что углы между этими сторонами и основанием АВ также равны. То есть угол САВ равен углу ВАС. Обозначим эти углы за α.

б) Чтобы найти углы, которые биссектриса СК образует со стороной АВ, воспользуемся теоремой биссектрис:

Угол, образованный биссектрисой, делит противолежащую сторону (АС) на отрезки пропорциональные другим двум сторонам треугольника (АВ и ВС).

Пусть угол СКА = β и угол СКВ = γ.

Тогда применим теорему биссектрис:

AC / AB = SC / SB

У нас уже есть равные углы α (между СА и ВА) и α (между СВ и АС), так что можем записать:

AC / AB = SC / SB

Используем соотношение синусов:

sin(β) = SC / AC sin(γ) = SC / BC

Теперь нам нужно выразить AC и BC через AB и другие известные величины. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольниках АСВ и АВС:

Для треугольника АСВ: AB / sin(α) = AC / sin(γ) AC = (AB * sin(γ)) / sin(α)

Для треугольника АВС: AB / sin(α) = BC / sin(β) BC = (AB * sin(β)) / sin(α)

Теперь можем записать углы β и γ через известные величины:

sin(β) = SC / AC sin(β) = SC / ((AB * sin(γ)) / sin(α)) sin(β) = (SC * sin(α)) / (AB * sin(γ)) β = arcsin((SC * sin(α)) / (AB * sin(γ)))

sin(γ) = SC / BC sin(γ) = SC / ((AB * sin(β)) / sin(α)) sin(γ) = (SC * sin(α)) / (AB * sin(β)) γ = arcsin((SC * sin(α)) / (AB * sin(β)))

Таким образом, углы β и γ найдены. Просто подставьте известные значения угла α (который равен углу САВ) и углов А и В, чтобы получить итоговые значения углов β и γ.