Question

На рисунке 86, б изображен равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 12 см. Точки О и Т — середины сторон BC и АВ соответственно. В треугольник ОТВ вписана окружность. Вычислите площадь сектора, ограниченного двумя радиусами, проведенными в точки касания, и дугой окружности, которая больше 180°.

Answer 1

Решение в приложении:

Answer 2

Для начала, найдем радиус вписанной окружности в треугольник ОТВ. В равностороннем треугольнике, биссектриса, медиана и высота являются одной и той же линией. Поэтому, точка пересечения медиан треугольника (точка О) также является центром вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник можно найти по следующей формуле:

$r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$

где $a$ - длина стороны треугольника.

В данном случае, $a = 12 \, \text{см}$, поэтому радиус $r$ равен:

$r = \frac{12}{2 \sqrt{3}} = \frac{12 \, \text{см}}{2 \cdot 1.732} ≈ 3.464 \, \text{см}$

Теперь, чтобы вычислить площадь сектора ограниченного двумя радиусами и дугой окружности, которая больше 180°, нужно найти угол сектора.

Обозначим этот угол через $θ$. В равностороннем треугольнике $ΔОТВ$ радиус $OT$ перпендикулярен стороне $ВС$ и является медианой. Это означает, что угол $θ$ равен углу $ВОС$, где $ОС$ - радиус вписанной окружности.

Так как угол $θ$ и угол $ВОС$ образуют вертикальные углы, то угол $θ$ равен углу $ВОС$ и может быть найден следующим образом:

$\theta = \arctan{\frac{OT}{OC}} = \arctan{\frac{OT}{r}}$

$\theta = \arctan{\frac{12/2}{3.464}} ≈ \arctan{1.73205} ≈ 60^\circ$

Теперь, чтобы найти площадь сектора, ограниченного двумя радиусами и дугой окружности, которая больше 180°, мы используем следующую формулу для площади сектора:

$S = \frac{1}{2} r^2 \theta$

где $S$ - площадь сектора, $r$ - радиус окружности, а $θ$ - угол в радианах.

Подставляем значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot (3.464)^2 \cdot \frac{60}{180} \cdot \pi ≈ \frac{3.464^2}{2} \cdot \frac{\pi}{3} ≈ 5.9997 \, \text{см}^2$

Ответ: Площадь сектора, ограниченного двумя радиусами и дугой окружности, которая больше 180°, равна примерно 5.9997 квадратных сантиметров.