Question

Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, если CF = √13 см, ∠B = 60°, а сторона AB равна 18 см.

Answer 1

∠BFA = 90° (т.к. AF высота), отсюда
∠BAF = 30° (180-90-60)
В прямоугольном треугольнике, против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы. Гипотенуза равна 18, значит катет BF равен 9.
Можно найти AC с помощью теоремы косинусов, но теоремой пифагора будет проще.
Найдём AF
AF²+9²=18²
AF²=18²-9²
AF=√(324-81)
AF=√243
Теперь найдём AC.
√13²+√243²=AC²
13+243=AC²
AC=√(13+243)
AC=√256=16

Ответ: AC=16 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Дана сторона AB и два отрезка BF и CF, которые делят сторону BC на три части. Обозначим сторону AC как x.

Теорема косинусов: В треугольнике ABC с углом C и сторонами a, b и c: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Мы знаем сторону AB (a) и отрезки CF (b) и BF (c). Для нахождения стороны AC (x), нам необходимо найти угол C.

Из условия треугольника ABC, сумма всех углов равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

Так как ∠B = 60°, то ∠A + ∠C = 180° - 60° = 120°.

Теперь, чтобы найти угол C, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника CFB:

CF^2 = BF^2 + BC^2 - 2 * BF * BC * cos(∠CFB)

Подставим известные значения: √13^2 = BC^2 + 18^2 - 2 * BC * 18 * cos(∠CFB)

13 = BC^2 + 324 - 36 * BC * cos(∠CFB)

Также, у нас есть отношение длин отрезков BF и CF:

BF / CF = BC / AC

Теперь заменим в этом уравнении BC на x и CF на √13:

BF / √13 = x / AC

Для дальнейшего решения системы уравнений, найдем cos(∠CFB):

cos(∠CFB) = (BC^2 + CF^2 - BF^2) / (2 * BC * CF) cos(∠CFB) = (x^2 + 13 - 18^2) / (2 * x * √13) cos(∠CFB) = (x^2 + 13 - 324) / (2 * x * √13) cos(∠CFB) = (x^2 - 311) / (2 * x * √13)

Теперь вернемся к уравнению с теоремой косинусов для треугольника CFB:

13 = BC^2 + 324 - 36 * BC * cos(∠CFB) 13 = x^2 + 324 - 36 * x * ((x^2 - 311) / (2 * x * √13))

Теперь у нас есть уравнение для стороны AC, и мы можем его решить:

13 = x^2 + 324 - 18 * (x^2 - 311) / √13 13 = x^2 + 324 - (18 / √13) * (x^2 - 311)

Теперь упростим уравнение:

13 = x^2 + 324 - (18 / √13) * (x^2 - 311) 13 = x^2 + 324 - (18 / √13) * x^2 + (18 / √13) * 311 13 = x^2 + 324 - (18 / √13) * x^2 + 18 * √13 13 - 324 - 18 * √13 = x^2 - (18 / √13) * x^2 -311 - 18 * √13 = (1 - (18 / √13)) * x^2 x^2 = (-311 - 18 * √13) / (1 - (18 / √13))

Теперь найдем значение x:

x^2 = (-311 - 18 * √13) / (1 - (18 / √13)) x^2 ≈ 415.36 x ≈ √415.36 x ≈ 20.37

Таким образом, сторона AC примерно равна 20.37 см.