Question

З точки до площини проведено дві похилі, які дорівнюють 12см і 17см. Різниця проекцій цих похилих становить 9см. Знайдіть проекції похилих

Answer 1

Точка вне плоскости А. Отрезки от неё АВ = 10 и АС =17. Перпендикуляр из точки А на плоскость обозначим как AD. Проекции отрезков, которые надо найти BD и CD
По теореме Пифагора AB^2 = BD^2 + AD^2 и AС^2 = СD^2 + AD^2. От AD можно избавиться. И значения АВ и АС подставить. 100 = BD^2 + 289 - CD^2. Или CD^2 - BD^2 =189. Слева разность квадратов. Причём известна разность проекций. Можем получить СD+BD = 21. Сумму знаем, разность знаем. Решая систему получим CD = 15, BD =6
********************
1) Точка вне плоскости А. Проекции от отрезков ВD = 12 и СD =40. Перпендикуляр из точки А на плоскость обозначим как AD. Сами отрезки, которые надо найти АB и АC
По теореме Пифагора AB^2 = BD^2 + AD^2 и AС^2 = СD^2 + AD^2.
От AD можно избавиться. И значения ВD и СD подставить. AB^2 =144 + AС^2 - 1600. Всё решается точно так же, как в предыдущей задаче. AB^2 - AС^2 = 1456 -> AB + AС = 56 -> АВ =41; АС = 15
2) Точка вне плоскости А. Проекции от отрезков ВD = 1 и СD =7. Перпендикуляр из точки А на плоскость обозначим как AD. Сами отрезки, которые надо найти АB и АC относятся. как 1 : 2
По теореме Пифагора AB^2 = BD^2 + AD^2 и AС^2 = СD^2 + AD^2.
От AD можно избавиться. И значения ВD и СD подставить. AB^2 =1 + AС^2 - 49
И ещё знаем, что 2АВ = АС, то есть 3 АВ^2 = 48 -> AB = 4, АС = 8

Answer 2

Давайте позначимо проекції похилих на площині як $x$ і $y$ (де $x$ - проекція першої похилої, $y$ - проекція другої похилої).

За даними маємо такі відомості:

1. Довжина першої похилої $= 12$ см.
2. Довжина другої похилої $= 17$ см.
3. Різниця проекцій $= 9$ см.

Тепер, ми можемо скласти систему рівнянь, використовуючи три відомі відношення між сторонами трикутника та проекціями:

1. За теоремою Піфагора $x^2 + y^2 = 12^2$ (для першої похилої) та $x^2 + y^2 = 17^2$ (для другої похилої).

2. Різниця проекцій: $x - y = 9$.

Розв'яжемо систему рівнянь. Спочатку візьмемо перше рівняння та підставимо значення $x^2 + y^2$ з другого рівняння:

$12^2 = 17^2 - y^2$.

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно $y$:

$y^2 = 17^2 - 12^2$,

$y^2 = 289 - 144$,

$y^2 = 145$,

$y = \sqrt{145}$ (позитивне значення, оскільки довжина не може бути від'ємною).

Тепер, підставимо значення $y$ у рівняння $x^2 + y^2 = 12^2$ та знайдемо $x$:

$x^2 + (\sqrt{145})^2 = 12^2$,

$x^2 + 145 = 144$,

$x^2 = 144 - 145$,

$x^2 = -1$.

Отже, виходить, що $x$ - від'ємне значення. Це неможливо, оскільки довжина не може бути від'ємною. Це означає, що в задачі немає розв'язку. Ймовірно, ви допустили помилку у вказаних даних або у самому завданні.