Question

Дана правильная 4-угольная пирамида, сторона основания у которой равна 4см, расстояние от центра основания до бокового ребра равно 2см. Найдите угол между смежными гранями и плоский угол при вершине пирамиды.

Answer 1

Дана правильная 4-угольная пирамида SABCD, сторона a основания у которой равна 4 см, расстояние OK от центра основания до бокового ребра равно 2 см.

Рассмотрим осевое сечение ASC через противоположные боковые рёбра.
Косинус угла АОК = 2/(2√2) = 1/√2. Угол АОК = КАО = 45 градусов.
Из подобия треугольников АОК и ASO находим:
- боковое ребро AS = 2√2*√2 = 4 см.
- высота пирамиды Н  = d/2 = 2√2 см.
Так как сторона основания и боковые рёбра равны по 4 см, то все углы боковой грани, в том числе и при вершине, равны по 60 градусов.

Угол между боковыми гранями - это угол ДКВ, где ДК и КВ - высоты из вершин В и Д на ребро SA.
ДК = КВ = 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3 см.
Тогда угол ДКВ равен:
∠DKB = 2arc cos (OK/KD) = 2arc cos(2/2√3) =  109,4712 градуса.

Answer 2

Правильная четырёхугольная пирамида MABCD
AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей
OK⊥CM;  OK = 2 см

ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см
ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см
KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4  ⇒  KC = 2 см  ⇒
ΔOKC - прямоугольный равнобедренный
ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒
ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒
OM = OC = 2√2 см:  MK = KC = 2 см   ⇒  MC = 2*2 = 4 см
Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см  ⇒
ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD  ⇒
Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°
В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒ 
DK⊥MC.   Аналогично BK⊥MC   ⇒
Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD
DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см
ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см
Теорема косинусов
BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD
(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD
32 = 24 - 24*cos∠BKD
24cos∠BKD = -8
cos∠BKD = -1/3
∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5° 

ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см
sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)=  $\sqrt{ \frac{2}{3} }$
∠MFO = arcsin ( $\sqrt{ \frac{2}{3} }$) ≈ 54,7°
MF⊥AD  и  OF⊥AD  ⇒
∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания

Ответ: угол при вершине 60°;
угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;
угол между боковой гранью и гранью основания равен
arcsin ( $\sqrt{ \frac{2}{3} }$) ≈ 54,7°

Answer 3

Чтобы найти угол между смежными гранями и плоский угол при вершине пирамиды, нужно рассмотреть пирамиду более детально. Давайте обозначим следующие величины:

1. Длина стороны основания квадрата (сторона пирамиды) - a = 4 см.
2. Расстояние от центра основания до бокового ребра - h = 2 см.

Так как пирамида правильная, все грани треугольники. Для нахождения угла между смежными гранями, обратим внимание на треугольник, который образуется одной из боковых граней, основанием и высотой. Воспользуемся теоремой косинусов для этого треугольника.

Угол между смежными гранями (угол при вершине треугольника) обозначим как α.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, половиной стороны основания и высотой. Воспользуемся снова теоремой косинусов, чтобы найти плоский угол при вершине пирамиды.

Плоский угол при вершине пирамиды обозначим как β.

Рассчитаем эти углы:

1. Угол α:

В треугольнике со сторонами a (половина стороны основания), h (высота) и одной из боковых граней (c - длина бокового ребра) применим теорему косинусов:

cos(α) = (a^2 + h^2 - c^2) / (2 * a * h)

c - длина бокового ребра. Мы можем найти её, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a/2 и h:

c^2 = (a/2)^2 + h^2

Таким образом, c^2 = (4/2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8, и c = √8 = 2√2.

Теперь можем рассчитать cos(α):

cos(α) = (4^2 + 2^2 - (2√2)^2) / (2 * 4 * 2) cos(α) = (16 + 4 - 8) / 16 cos(α) = 12 / 16 cos(α) = 3 / 4

Теперь найдем α, взяв обратный косинус (арккосинус) от 3/4:

α = arccos(3/4) α ≈ 41.41°

2. Угол β:

Для рассчета угла β используем тот же треугольник, что и в случае с углом α.

cos(β) = (a^2 + c^2 - h^2) / (2 * a * c)

Мы уже знаем значение c (длина бокового ребра) и h (расстояние от центра основания до бокового ребра), так что можем рассчитать cos(β):

cos(β) = (4^2 + (2√2)^2 - 2^2) / (2 * 4 * 2√2) cos(β) = (16 + 8 - 4) / (8√2) cos(β) = 20 / (8√2) cos(β) = 20√2 / 16 cos(β) = 5√2 / 4

Теперь найдем β, взяв обратный косинус (арккосинус) от 5√2 / 4:

β = arccos(5√2 / 4) β ≈ 45°

Итак, получили значения углов:

Угол между смежными гранями α ≈ 41.41° Плоский угол при вершине пирамиды β ≈ 45°