Question

Довести, що чотирикутник ABCD-квадрат, якщо у нього точки A(0；0),B(-1；1),C(0；2),D(1；1)

Answer 1

............................

.
.

Answer 2

Для доведення того, що чотирикутник ABCD є квадратом, ми маємо перевірити дві рівності:

1. Перевірити, чи всі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину.
2. Перевірити, чи всі кути чотирикутника ABCD прямі кути (тобто, чи він є прямокутником).

Дано координати чотири точок: A(0,0) B(-1,1) C(0,2) D(1,1)

1. Перевірка довжин сторін: Довжину сторони між двома точками (x1, y1) і (x2, y2) можна обчислити за допомогою теореми Піфагора: Довжина = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Таким чином, довжини сторін будуть: AB = √((-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = √(1 + 1) = √2 BC = √((0 - (-1))^2 + (2 - 1)^2) = √(1 + 1) = √2 CD = √((1 - 0)^2 + (1 - 2)^2) = √(1 + 1) = √2 DA = √((0 - 1)^2 + (0 - 1)^2) = √(1 + 1) = √2

Усі сторони мають однакову довжину (√2), що означає, що ABCD - паралелограм (оскільки всі протилежні сторони рівні), і ми побачимо чи він є прямокутником.

2. Перевірка кутів: Знаходження кутів можна виконати за допомогою векторних операцій. Для кожного кута ми знаходимо вектори, що задають протилежні сторони і порівнюємо їх дотичні.

AB = (-1, 1) - (0, 0) = (-1, 1) BC = (0, 2) - (-1, 1) = (1, 1) CD = (1, 1) - (0, 2) = (1, -1) DA = (0, 0) - (1, 1) = (-1, -1)

Тепер порівнюємо вектори:

AB · BC = (-1, 1) · (1, 1) = -1 + 1 = 0 BC · CD = (1, 1) · (1, -1) = 1 - 1 = 0 CD · DA = (1, -1) · (-1, -1) = -1 + 1 = 0 DA · AB = (-1, -1) · (-1, 1) = -1 - 1 = -2

Дотичні всіх протилежних сторін ABCD дорівнюють нулю, окрім DA · AB, який дорівнює -2.

Якщо DA · AB = -2, це означає, що кути між сторонами DA і AB не є прямими. Тому чотирикутник ABCD не є прямокутником, і ми можемо зробити висновок, що це не квадрат.

Отже, чотирикутник ABCD не є квадратом.